高等数学下11.7斯托克斯(stokes)公式

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1、n§7.斯托克斯(stokes)公式右手规则一、斯托克斯公式定理设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式RQPRQP()dydz()dzdx()dxdyyzzxxyPdxQdyRdz斯托克斯公式一、斯托克斯公式RQPRQP()dydz()dzdx()dxdyyzzxxyPdxQdyRd

2、z斯托克斯公式证明如图z设Σ与平行于z轴的直线zf(x,y)n:相交不多于一点,并Σ取上侧,有向曲线C为Σ的正y向边界曲线在xoy的投oDxy影.且所围区域D.xCxy一、斯托克斯公式RQPRQPPdxQdyRdz()dydz()dzdx()dxdyyzzxxy思路曲面积分二重积分曲线积分12PPPPdzdxdxdy(coscos)dSzyzyzf(x,y)法向量为：(,,1ffxy)又cosfycos,代入上式得PPPPdzdxd

3、xdy()fdcosSyzyyz一、斯托克斯公式(RQ)dydzPR(QP)dxdyPdxQdyRdz()dzdxyzzxxyPPPPdzdxdxdy(fy)cosdSP161zyyzPPPP即dzdxdxdy(fy)dxdyzyyzzn:zf(x,yP(x,y,z(x,y)))dxdyyDxyoDxyPzPz(x,y,)(x,y,)CxfPxyzxy[,,(,)]yyyz

4、一、斯托克斯公式(RQ)dydzPR(QP)dxdyPdxQdyRdz()dzdxyzzxxyzn:zf(x,yPPPPdzdxdxdy(fy)cosdSzyyzPPPPo即dzdxdxdy(f)dxdyDyxyzyyzxCPz(x,y,(x,y))dxdyyDxyPPdzdxdxdyP[,,(,)]xyzxydxdyzyDyxy1RQPRQPPdxQdyRdz()

5、dydz()dzdx()dxdyyzzxxyPPdzdxdxdyP[x,y,f(x,y)]dxdy,zyyDxyP144.2QP根椐格林公式()dxdy=PdxQdyxyLD2P[x,y,f(x,y)]dxdyP[x,y,f(x,y)]dxycDxyzn:zf(x,y)PPP[x,y,f(x,y)]dx即dzdxdxdyzyc平面有向曲线yoDPPxy要证dzdxdxdyP(x,y,z)dx,xCzy空间有向曲线RQ

6、PRQPPdxQdyRdz()dydz()dzdx()dxdyyzzxxyPPP[x,y,f(x,y)]dx即dzdxdxdyzyczPPn:zf(x,y)dzdxdxdyP(x,y,z)dx,zynlimP(,ii,(,fii))xiP(,,(,))xyfxydx0Ci1onDxylim0P(,iii,)xiPx(,,)yzdxxCi1Pxyfxy(,,(,))在曲线C(,)xy处的值等于Px(,,)yz在曲线上的(,

7、xy，z处的值)两曲线上对应小弧段在x的投影也一样PPdzdxdxdyP(,,)xyzdxP[,,(,)]xyfxydxzycz同理可证n:zf(x,y)QQdxdydydzQ(x,y,z)dyxzRRodydzdzdxR(x,y,z)dzDxyyxCxRQPRQP()dydz()dzdx()dxdyyzzxxyPdxQdyRdz故有结论成立.RQPRQP()dydz()dzdx()dxdyyzz

8、xxy斯托克斯公式PdxQdyRdz