机床动力学中含时滞颤振系统的分岔问题的研究

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第1卷笫4期非线性动力学学报vol_l№．4l9g4年12月Jotu~alofN'c~I]nearD”am妇InSclc~qceandnd1nDec．1994机床动力学中含时滞颤振系统的分岔问题的研究’傅卫平蒋耀林徐健学(西安交通大学非线性动力学研究所西安·710049)●摘要本文针对机床动力学中一种典型的非线性完垒再生颤派摸型，分析证明了这种二骱有限时滞徽分方程的Hopf分岔的存在条件．推导出分岔周期解的表达式，并结合工程实例，给出了产生分岔的参散范围．关铟词t机床动力学，非线性颤饭．时滞方程．Hopf分岔

2、中圉分类号tO175l引言切削颤振一直是机床动力学研究中的一十重要内容．由于传统的线性颤振理论无法解释一些重要的颤振现象，例如振幅稳定性等．现在非线性颇振理论已受到极大重视，并得到愈来愈多的应用．随着国内外非线性科学的发展，运用非线性动力学现代分析方法(如分岔、愠沌理论)米研究非线性暾振问题不仅是有效的，而且也是一种十分重要的选径．窳所周知．机床切削颤振有多种类型，而以再生颇振疑为常见．再生颇振是由于切削过程和机床结构动态特性之问相互作用而产生的．当由于某种因素对切削过程干扰时．机床结构在加工表面法线方向上将产生振动位移z(‘)井形成切削层底部波形．该波形

3、与工件前一转或刀具前一刀齿振动时形成的切削层顶部波形z(‘一f)(这里f一601Nz表示相邻两次切削之同的时问．N为主轴转速，z为刀具刀齿总散)BI起切削厚度变化△s—z(￡)一z(c—f)·从而形成动态切削力△P=P(△s)(P(·)为△s的函数)，aP作用于机床结构．将又引起z(‘)的变化．当△P的作用助长初始扰动时，机床将出现不稳定，从而导致嫉据在z(‘)及as很小时．机床结构的刚度和阻尼以及动态切削力aP可近似看成是线性的，但当机床失稳形成稳态颇报时．则必须考虑非线性园索的影响．一个典型的非线性完全再‘翻宋白然FI学基金和高校}孽士点堇盘安助项目_

4、阜文于1994年3月51El收刊维普资讯http://www.cqvip.com非线性动力学学报1994芷生颇振模型[1]可以用下面的二阶有限时滞微分方程表示^"+三+(z++)=一KI[

5、J+yI(△)+y2(△)’](1．1)这里．m一等效质量，h一等效迟滞阻尼系数，一振动的基波颠率，I一等效线性弹簧刚度，一总切削厚度系数，，、y2为非线性项系数．这些参数可通过试验获取．关于方程(1．1)的动力学问题，已有一些较好的研究工作．文[1]利用谐波平衡法研究了该方程的稳态周期解l文[2]在微小时滞(t《1)的前提下，将方程(1．1)转化为常微分方程系坑，分析

6、了近似系统的分岔行为I文[3]首先将方程(1．1)整理成z(￡)++k(￡)一(t-1)一(z(￡)，(1一1))，尔君分别研究了参数a．6．c独立变化时原系统(1．1)的周期解存在和分岔发生的条件．在实际切削中，f《l的假设一般仅适用于多齿刀具加工(如铣削)以及超高速切削．另’外，对于给定的系统(I．1)，m，h．I．．，n，y2为常数，而和(或)f则可随切削用量不同而变化，因此，文[3]中的参数a，6和c实际上并不是独立变化的，而是同时变化并有相互依较关系的．本文正是在考虑这些因素的基础上，分析方程(1．1)产生H。pf分岔的条件，应用Hassard方

7、法[]推导该方程的分岔周期解，并结台工程实例，给出产生分岔的参数范围．2Hopf分岔存在的条件令=I／I=_o+，取为分岔参数．(0<<1，参见[1]，'7。为临界值。将方程(J．1)写成如下形式i++k一(￡一f)：一[+2一+e1(△s)+e2(△s)’](2．1)式中，a=^／"=aI／∞，6=，(1+)，c=P，I黑，eI互y1，=yz，／m．值得注意口eI，e

8、均为参数p的函数，且6>c．当=oN"，记口。一a(0)一／，6o=6(0)，c。=口(0)．eI。一eI(O)．蜘=e2(0)．方程(2．1)的线性部分的特征方程为(+d+6)一c一0，

9、其中1=口+．设lf墨i墨+，吖黑，n置，af兰三／P，=，．z=5，z兰；．譬．这里，5，；，；，均为p的函数．。．为常数．于是特征方程化为等价形式(il+1+5)一；一o(2．2)下面证明方程(2．2)满足Hopf分岔条件．对于任意的，方程(2．2)等价于，G(，)=‘置一妻++cos一(。+)．n一0_(2．3))一(一+i+舌)s．叽+(2+)。s互0⋯，设：(o)暑0．昌(0)>o，并注意到商=(o)昌孚，舌．一5(o)昌+，=；(o)一I2．则(2．3)式成为(一廊)c0s风一．sin忍一-0=0，(一5)n风+．c‘】s风=0由上式有解维普资

10、讯http://www.cqvip.com第4职侮卫平等t机床勃力