实二次型化成标准形的几种方法new

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2007年《和田师范专科学校学报》(汉文综合版)Ju1．2007第27卷第五期总第49期实二次型化成标准形的几种方法李五明张永金张栋春(河南理工大学数学与信息科学学院河南焦作454000；2．首都师范大学数学科学学院北京100037)，将，iF_交化，取，72=，一廿位1．正交变换法化，得用正交线性变换x=cY化二次型，：X’AX为标准形，相当于=[]，：[]。对于对称矩阵A找一个正交矩阵c使cAC：D为对角阵。而这是，第四步：将，P2，构成正交矩阵：11解第二步：，求出A的全部互不系相等的特征值^，，⋯

2、，，它们的，于是正交变换为：重数依次为kl，k2，⋯，k(七I+k2+⋯+=”)：11sC=(PIP2P3)=，，．．。．．．。．。．I．．．．．IIII第三步：对每个重特征值，-求一／方程(一4E)X：0的基础解一10l2、●●●●●●●／u+q，1．f●●●O●●Il●●●●1．、、11、●●●●●●●／√3+11L￡；_IL￡；一√3IL￡；r一I[萎]’且有厂=一2++口+lO432．配方法厂=-2XI+2xI+2x2x3化为标准形。用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理：l情形l：如果二次型厂(，X2，⋯，)含某变量例

3、如的平方项而其系数口I．≠0，则集ee-次型中含的所有交叉项，然后与I一一11IIl一2-10I配方，并作可逆线性变换：JA-AEJ：l一1一1l=l-1一1l，(q』∈R，=1，2，⋯，)’=I-1一·三I=c·一c+一z=一(一1)(+2)得厂=+g(，⋯，)，其中g(，⋯，yDY2，⋯，的二次求得A的特征值为^：一2：，丑：1。型，对g(，⋯，)重复上述方法直到化二次型f为标准形为止。第三步：对应：一2，解方程(+2E)X：0，由情形2：如果二次型厂(，，⋯，)不含平方项，即=o(i=1，2，⋯，”)，但含某一项≠O(i)，则可先作可逆线+2E=

4、[÷][i]得基础解系=[-·1]’将＼xi：yi+Yy性变换：J．：)，，一)，，，把厂化为一个含平方单位得1。对应=I斛方程l：(k=1，2，⋯，”；k≠i，)项的二次型，再用情形1的方法化为标准形。1J注意：为了写出化二次型为标准形所用的可逆线性变换，对情(A-E)X：。，由形1中的线性变换应写出它的逆变换(即用表示出)，再将化一E：『，：：：：：]『，]得基础简过程中每一步的线性变换进行复合，得到总的线性变换。11一l／000／例2．用配方法化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性l65维普资讯http://www.cqvip.com2007

5、年《和田师范专科学校学报》(汉文综合版)Ju1．2007第27卷第五期总第49期变换：(1)f(xI，2，3)=+3x+2xl2+4xI3+2x23：(2)f(xl，X23)=：qx2+XlX3+23。(A对进行同样的初等行变换和初等列变换㈢解：(1)用配方法f：十2xI(2+2x3)+3x2+2x2X3例3．用初等变换法把下列二次型经过非退化(可逆)线性变换化成标准形，并且写出所作的非退化线性变换，即：=【十(2+2)】-(x2+2x3)+3x2+2x2X3f(xl，2，X3)=l2+lX3—3X~X3。：(l+2+2x3)一；-2x2一《o解：f(

6、xl，X2，)的矩阵是22，用矩阵令f【++2，即{一一2A：0一三22Y3：【：13得厂：Y一Y；一2y：Y3～：Y2-(2+)。一2一一2u的成对初等行、列变换法，我们有：令11令』jtZ，：+，即j{：z一Z3，’得厂：z一z：2，’所用的0—122z；：【Y，：Z3033告02II3—30O可逆线性变换为：Ix；：z一，221OO1OO【：Z]O1OO1O即[兰]=[：：][兰]’这里c=：：]’OO1OO111_}一11—1Ic1=1，故阿逆。2110一3O—143由于所给二次型没有平方项，故令xl=Yl-Y2得—130一1O：(2)+‘1_

7、{)21OO1OO【X3：11Of=(Yl—Y2)(l+Y2)+(Yl—Y2)Y3十(Yl+Y2)Y3：Y-y；+2l’OO1：(l+Y3)-y；一21O一1fzl=Yi+Y3f．=zl—z30—14—1令{Lz：Y2，即{：=Z2得：，：z一z一z，1O1OO11O—1—1Oz；：【J，3=Z3(2>1()OO—I一I：一l：O一Z2=Zj一2一Z31——10所用的可逆线性变换为O1OO1Oj高二j+Z=Z+Z2～Z31{0I：OO1这里f1—1一1，ICI。：2，故c可逆。1OO1O3．初等变换法0一1—10一{用可逆线性变换：CY化二次型f：‘A

8、X为标准形，相当O一1—1OO(3>2~(-4)于对于对称矩阵找一个可逆矩阵C，使C‘AC：D