化二次型为标准形的几种方法

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1、2012年和田师范专科学校学报Ju1．2012第3l卷第一期总第75期化二次型为标准形的几种方法张钊(驻马店职业技术学院河南驻马店463000)[摘要]对于日益呈现数字化社会的今天，高等代数是一门应用最广的学科之一，而二次型是高等代数中的重要部分。二次型理论与矩阵密切相关。二次型的化简方法是对其进行研究与应用的重要基础。本文给出了化二次型为标准形的一些方法。[关键词]二次型；标准形：化简二次型是高等代数中比较重要的一个知识点，但同时fz·也是难点，很多同学对此掌握得都不怎么好，结合自己的教学实践与经验，总结出几种将二次型化为标准型的几种方法这几种方法各有其特点，解

2、题时可根据其特点和要求采取最佳方法，以达到简明快速的目的。特别是偏倒数法Z4=和顺序主子式法，只要按公式计算即可。1．配方法用配方法化二次型为标准形的关键是削去交叉项，分lxI=一2十l=zl如下两种情形处理：情形1如果二次型(，，，⋯，xD含某文jIY2(8)，jI223(9)字，例的平方项，而口≠0，则集中二次型中含X。lx3=Y3I=z3-2z4lI【【Z4的所有交叉项，然后与配方，并做非退化线性变换为：J，l===c11+cl2+⋯+CnXnY2==：z2一z3一z4(c。∈P)x3=Z3——2Z4y：：=xn【4z4得f=+g(Y2，⋯，)其中g(，⋯是

3、注：此题中它的标准形为=一Z2+，它还是，⋯，的二次型。对于g(Y2，．．．，)重复上述方法直四元二次型，只是z的系数为零；所做的线性变换式(7)到化为二次型厂为标准形为止。必须有Y4=项，否则不是非退化线性变换。例l情形2如果二次型厂(，，x3⋯，：不含平方(，，，)=+3《+4+4xlx2项，即=0，但含某一个≠O(i≠J)，则可做非退—2x]X4—2x2x3—6X2x44-2X3X4’用配方法化将上式为标准形，并写出所做的非退化线性。＼xiyi+yJ解：f=+2Xl(2X=-x4)+(2x2一)化线性变换：{【Xj=一，(=1，2，⋯，n；k-Te．i，)把

4、_厂一(2一)+3《=IYl=x1+2x2一x4化为一个含有平方项Y的二次型，再用情形1的方法将其化为标准形。令j2(6)注：为了化二次型为标准形所用的非退化线性变换对·情形1中的线性变换应写出它的逆变换(即用Y表示出X：)，再将化简过程中每一步的线性变换进行复合，得到则=一+3一2一2+2总的线性变换；将配方法过程的每一步用矩阵写出来，相当于对二次型的矩阵逐步采用合同变换进行化简，最终=一(+2Y2(Y3+)+(+Y4))++4y4~化为对角矩阵。例2+4=一(++)+(+2)f(xl，X2，X3)=XlX2+)c3+X2X3，用配方法将此儿02012年和田师范

5、专科学校学报Ju1．2012第3l卷第一期总第75期／●●式化为标准形，并写出所用的非退化线性变换。100fxI=Yl—Y20—10解：由于没有平方项，故令{=+得：00O【：，故非退化线性变换[量]=l一1一lf=一y2)(yl+J，2)+一)一(+2)O11=一+2yly3=(Ya+)。一一001lZ1Yl+Y3l一z3企IZ2’即{l：Z2Iz3Y3【Y3z3[壹÷][篓]化二次型为=一。得：f=一Z2一Z32。所用非退化线性变换为：I=(Zl—z3)一Z2=Zl—z2一z3{【x2=(zl—z3)+z2=Zl+z2一z3=z，2．初等变换法(合同变换法)2

6、1yl2++⋯+。其中，，⋯，是实对称矩用非退化线性变换=cy化二次型厂=x'Ax为标准形，由定理1知相当于对对称矩阵找一个可逆的矩阵C，使CC=D为对角矩阵。由于可逆矩阵C可以写成若干初等矩阵的积，即C=只⋯，从而有：⋯⋯=D，ERR⋯=C，即相当于对矩阵做初等行变换或初等列变换。初等变换法如下：第一步写出二次型的矩阵，并构造2n×矩阵(第二步对进行初等行变换和同样的初等列变换，把化为对角矩阵，并对E施行与相同的初等列变换，化为矩阵C，此时C'AC=D；第三步写出非退化线性变换=cy，化二次型为标准形f=v'Dy。该法可以如图表示为：苎塑堂笪堕壁塑兰变垫塑竺型銮

7、选XCE只进行其中的初等列变换特征值构成，即D=diag(，，⋯，)，写的时候f(xl，x2，)=+3《+2x~x2+x3+2x2x3f=++⋯+用初等变换法化为标准形，并写出其非退化线性变换。f，112、求一个正交线性变换，将f=十+⋯+解：由题可知二次型的矩阵为=I101l【213J所以可得：112l00-2l0l0一l—l2130—1—1c2一q—=c上一1可以求得I一2El=-(2-2)(+7)，于是A的特征一2r11001—1—2值为==2，=一7，可求得对应==201O0l20010O12012年和田师范专科学校学报Ju1．2012第31卷第一期总第7

8、5期(2=