数学物理方法笔记摘要new

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1、《数学物理方法》笔记摘要【写在学习本课程之前】对于本课程本人的学习目标是熟悉数学物理方程本身的物理实质，对常见的分离变量法等要掌握解法，但公式等不必记住，会解决简单条件下的实际问题，如扩散方程、电测深问题、三维电场问题等。第一章数学物理方程基本概念一、数学物理方程的提出要解决物理量在时间和多维空间上的变化规律问题，这就导致了偏微分方程的产生。注意：所谓变化规律就是微分的思想，而在时间和空间上的多维变化就是偏微分方程。二、定解问题定解问题由泛定方程、边界条件、初始条件组成。①泛定方程：数学物理方程本身叫做泛定方程，不含有边界条件和初始条

2、件。②边界条件：即物理问题所处的“环境”，也就是物理量在边界上的状况。③初始条件：及物理问题的“历史”，也就是开始时刻物理量的状况。所以，解决物理问题，泛定方程是纽带，将边界值和初始值通过纽带推算到每个点、每个时刻，这就是解决数学物理问题的实质过程！三、泊松方程和拉普拉斯方程的物理本质①泊松方程是解决的物理场中的“有源”问题。②拉普拉斯方程解决的是物理场中的“无源”问题。四、扩散方程详见课本p145，将在后面的部分解决常见的扩散方程。五、边界条件分类（1）第一类边界条件指的是在边界上物理量本身的值。（2）第二类边界条件指的是在边界上物

3、理量法向导数的值，【物理意义】针对电场、热传导、扩散问题来说就是在边界上的“对外”或“对内”的流量问题。（3）第三类边界条件对于热传导问题就是描述的自由冷却问题，即杆端热流强度与温度差之间的关系，详见课本p156.六、线性偏微分方程的分类（1）线性偏微分方程的定义（2）分类双曲型抛物线型椭圆型第二章分离变量法一、偏微分方程能够进行分离变量的条件（1）方程是常系数线性偏微分方程；（2）边界条件是齐次的。二、分离变量法解决偏微分方程的步骤（1）将非齐次边界条件化为齐次边界条件；（2）将非齐次泛定方程表示成两个泛定方程的线性组合；（3）将分

4、离变量形式代入泛定方程，得到两个常微分方程；（4）将分离变量代入边界条件，和一个常微分方程组成特征方程，解出特征值；（5）将特征值代入另一个常微分方程并解之；（6）综合两个常微分方程的解，写出偏微分方程的解，然后代入初始条件，接触系数。三、常见问题和所用到的基础数学知识1.解特征方程的问题2.常微分方程的解3.傅立叶级数4.常见的分部积分四、齐次泛定方程和齐次边界条件的方程的解法【例】在铀块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的繁殖过程，每秒钟在单位体积中产生的中子数目正比于该处的中子的浓度u，可以表示为βu，研究厚度为l的层状铀块

5、，求临界厚度。（铀块厚度超过临界厚度，则中子浓度将随时间而增长，最终导致核爆炸）【解】根据题意，可以得出一个非齐次的泛定方程和齐次的边界条件，如下：2∂u2∂u=a+βu……（1）2∂t∂xu=u=0……（2）xx=0xx=l经过分析，（1）为常系数偏微分方程，（2）为齐次边界条件，所以可以直接使用分离变量的方法来解方程。设U(x,t)=X(x)T(t)，代入（1）有：''2''X(x)T(t)−aXT(t)−βX(x)T(t)=0''''X(x)T(t)−βT(t)整理得：==−λ……（3）2X(x)aT(t)''得：X(x)+λX

6、(x)=0……（4）''X)0(=X(l)=0……（5）''2T(t)+(λa−β)T(t)=0……（6）nπ根据特征值方程（4）（5）得：X(x)=Acos(x)（n=0，1，3……）…（7）lnπ2λ=()……（8）l将（8）代入另一个常微分方程（6），得：nπa2{()−β}tT(t)=Cel……（9）从而可以得到中子浓度的表达式：∞nπa2{()−β}tnπu(x,t)=∑Celcos(x)（n=0，1，2，3……）……（10）n0l分析上式，可以看到，如果e的指数大于零，那么浓度就是增加的，所以临界厚度就是aπe的指数等于零

7、，故临界厚度为。β【注】通过这个题目可以总结如下几点：①分离变量法的最核心的部分就是在于求解特征值方程，这是基础；②在计算特征值方程的时候，n是否取零，要注意，这点非常容易忽视！③上述题目与已经推导出来的用E表示的激电方程有类似之处，解决激电方程时可以效仿该题目！五、非齐次泛定方程和非齐次边界条件的处理方法该部分要看书，非齐次边界条件的处理很简单，非齐次泛定方程需要用冲量定理来解决，目前还没有掌握该方法！另外看看解的结垢定理是怎么回事？第三章球坐标下的拉普拉斯方程的解法一、各种坐标下的拉普拉斯方程的表示方式直角坐标系：圆柱坐标系：球坐

8、标系：22∂u1∂u1∂u平面及坐标系：++=0222∂rr∂rr∂ϕ二、球坐标系下拉普拉斯方程的解法