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1、数学物理方法复习第一篇复变函数论第一章复变函数复变函数教学大纲内容复变函数及导数的定义、性质，解析函数的特点与性质以及与平面标量场的联系。教学提示：理解复变函数的定义，区域的基本概念，复变函数与实变函数的区别与联系。理解复变函数导数的定义，可导的条件以及柯西——黎曼方程。理解解析函数的定义，掌握解析函数的主要性质。了解物理中能用复势表示的平面标量场。1、常见初等函数的表达式，注意其中的周期函数，多值函数。（P7-8）zx()⎧具有纯虚数e=ecosy+isiny⎨⎩周期2πi⎧1iZ−iZsinZe=−(e)⎪⎪2i⎧有实周
2、期2π⎨1⎨⎪cosZee=+(iZ−iZ)模可以大于1⎩⎪⎩2⎧s()hZ=−1eZe−Z⎧具有纯虚数⎪⎪2⎨⎨⎩周期2πi⎪chZ=+1()eZe−Z⎪⎩2iArgZlnZZ==ln(e)lnZ+iArgZ{无限多值ssZlnZ=e（s为复数）⎛⎞ϕ++22kkπϕπ根式函数z=+ρ⎜⎟cosisin⎝⎠22iϕ其中zek==ρϕ,0,1,是主幅角记⎛⎞ϕϕw=+ρ⎜⎟cosisin0⎝⎠22⎡⎛⎞⎛⎞ϕϕ⎤w=+ρ⎢cos⎜⎟⎜⎟ππ+isin+⎥1⎣⎝⎠⎝⎠22⎦根式函数是多值函数2、复函可导的充分必要条件，柯西-黎
3、曼方程。P10-12设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导的充分必要条件是1.u(x,y),v(x,y)在(x,y)点处可微；2.在(x,y)点处满足Cauchy−Riemann条件⎧∂∂uv=极坐标形式⎪⎪∂∂xy⇒⎨∂∂vu⎪=−⎪⎩∂∂xy3、解析函数的概念，主要性质。设函数w=f(z)在点z的某邻域内处处可导，则0称函数f(z)在点z处解析；又若f(z)在区域B内的0每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数。说明1.解析是与区域相对应的；2.函数在等点解析是比可导严格得多的条件，两
4、者并不等价，由定义解析必可导，反之则未必。3.若f(z)在点z不解析，则z称为f(z)的奇点。00解析函数的主要性质性质1：设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则u(x,y)=C，v(x,y)=C是B内的两组正交曲线。122z举例f(z)=zf(z)=e红:实部兰:虚部性质2：若在f()(,)(,)Zuxyi=+vxyB上解析，则u、v均为B上的调和函数，称为共轭调和函数，即22∇uv=∇=0性质3：解析函数满足C-R条件，可以由u（或v）求出v（或u）。任意两个调和函数组成的复变函数不一定解析324：验
5、证uxx=−3y是复平面上的调和函数，并求以它为实部的解析函数。22ux=6解：uxx=−33yxxux=−6yu=−6yyyy∴uu+=0xxyy22由C-R方程vuxy==−33yx23vx=−+3yyϕ(x)vxxy=+=66yxuxϕ′()−=y⇒=ϕ′()x0ϕ(xC)=23vx=−+3yyC3223∴f()zui=+=−vxx33yixyyC+(−+)3=++()xiyiC3=+ziC225：已知uxyxyxy(,)=−+求解析函数f(zuxyivxy)=+(,,)()解：uxyx=+2uy=−+2xy由C-R方
6、程vuxy==+2yx12vx=++2yyϕ()x2vyxuyxy=+22ϕ′()=−=−x12∴ϕ′()xx=−ϕ()x=−+xC222⎛⎞1122f()zxyx=−++yyx⎜⎟+−2yxii+C⎝⎠22又f(00)=，则C=02211⎛⎞2f()(zxi=+−yi)()xi+=−y⎜⎟1iz22⎝⎠第二章复变函数的积分复变函数的积分教学大纲内容复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质都和复积分有关。如：要证明“解析函数的导数连续性”及“解析函数的各阶导数存在”这些表面上看来只与微分学有关的问题
7、一般都要用复变积分加以讨论。柯西定理和柯西公式是复变函数理论的重要基础。教学提示：掌握复变函数积分的定义、计算、与实变函数积分的关系及性质。掌握柯西定理的条件与结论。掌握柯西公式的条件与结论以及柯西公式的一些重要推论。1、重要积分：P35dz⎧21πin==⎨ ∫n()za−⎩01n≠za−=ρ特点:结果与积分路线的圆周中心及半径无关2、单、复通区域的柯西定理（Cauchy）：P30若f(z)在闭单连通区域B上解析，l是B内任一分段光滑的闭合曲线，则 ∫fzdz()=0l复连通区域的柯西定理：若f()z是闭复连通区域上的单值
8、解析函数，则n ∫∫fzdz()+∑fzdz()=0llii=1其中l为区域外境界线，各l为区域内境界线，i积分均沿境界线的正方向。柯西定理总结：（1）闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零；（2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分之和为零；（3）闭复通区域上的解析函数沿外
