工程力学c17new

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1、工程力学C北京理工大学理学院尚玫3.5考虑摩擦的平衡问题考虑摩擦的平衡问题滑动摩擦摩擦力总是阻碍物体的运动趋势理论力学不研究摩擦机理，仅利用库仑干摩擦模型研究有摩擦系统的平衡及动力学问题。库仑干摩擦模型（1）静摩擦力可平衡一定范围的主动力：0≤F≤Fmax−Fmax≤F≤Fmax（2）平衡时摩擦力的大小决定于主动力Q=mgF=P≤FmaxPF（3）最大静摩擦力:F=µN。maxNµ:摩擦系数，N：是约束面的法向反力.全反力SQ=mg摩擦面作用在物体上的合力θR=N+FPF全反力与摩擦面法线方向的夹角为θ−1F−1Fmax−1NRθ=tg

2、≤tg=tgµNNSF=µNθθmaxm−1摩擦角θ=tgµm摩擦力能维持平衡的最大θ角θθmR摩擦锥与自锁当摩擦力平衡主动力时，Sθθ全反力的作用线一定落在锥m顶角为2θ的圆锥之内。这m个圆锥称为摩擦锥。θθm摩擦锥的锥顶角决定于摩擦系数R−12θ=2tgµm自锁现象：只要平衡要求的全反力落在摩擦锥内不论主动力多大，摩擦力总能维持平衡。例1设一物块放在粗糙斜面上。斜面与物块间的摩擦系数为µ，问平衡时α满足什么条件？α解：列出沿着斜面和垂直斜面方向的平衡方程：dF=PsinαN=PcosαPα又由于平衡时有F≤µN解析法∴tgα≤µ=t

3、gθdmFdααN平衡时α≤θm即主动力P在摩擦锥内。Rθm几何法由摩擦锥的定义，若滑块平衡必有α≤θm&&动画动画利用摩擦角测定摩擦因数&&动画动画摩擦角与摩擦锥0θ<α<90例2上例中，若m，需加一个水平力Q才能使物体在斜面上平衡,求Q的范围。PdQα向上滑动趋势时向下滑动趋势时的平衡的平衡ddPPααQQdFddαNFdαNα解析法解：首先列出沿着斜面和垂直斜面方向的平衡方程Qcosα−F−Psinα=0N−Pcosα−Qsinα=0解出F=Qcosα−PsinαN=Pcosα+Qsinαd平衡时摩擦力应满足Pα−µN≤F≤µNQ

4、dFαd可使物块平衡的推力Q的范围NαP(sinα−µcosα)P(sinα+µcosα)≤Q≤cosα+µsinαcosα−µsinα人-梯力学分析：光滑墙面人能安全走上梯子顶θ端的最大θ=?粗糙地面摩擦系数µ（忽略梯子重量）人-梯力学分析：光滑墙面O当人走上梯子后的Nθα平衡分析OPNθRαP当人在梯子顶端时摩擦达到临界。−1θ=tgµRmax&&例题例题00摩摩擦擦制动器的构造和主制动器的构造和主O要尺寸如图所示。制动要尺寸如图所示。制动rcF1块与鼓轮表面间的摩擦块与鼓轮表面间的摩擦OR1C因因数为数为ffs，，试求制动鼓试求制

5、动鼓ABb轮转动所必需的力轮转动所必需的力FF1。。aG&&例题例题00摩摩擦擦解解::1.取鼓轮为研究对象，受力分析如图。O列平衡方程rc∑∑MMO1()()FF==00,,FrFr−−FFfRR==00(a)(a)FO1f1OR1CA解方程得BFO1ybrrrraFO1xFFff==FF==GG(b)(b)RRRRO1CFfGFFN&&例题例题00摩摩擦擦2.取杠杆为研究对象，受力分析如图。OFOyrcFOxFO1OR1CABFN′bF1F′faABG&&例题例题00摩摩擦擦列平衡方程FOy∑∑MMOO()()FF==00,,FF1

6、1aa++FFff′′cc−−FFNN′′bb==00(c)(c)FOxO补充方程FFff′′≤ffssFFNN′′(d)(d)解方程可得F′NF1FFNN′′bb−−FF11aa==FFff′′cc≤ffssFFNN′′ccF′f或FFNN′′()()bb−−ffsscc≤FF11aaABF′′FF11aarrrr得FNN≤bb−−ffcc由于FFff==FF==GGssRRRR代入式(d)得rGrGFF11aa,,rGrG((bb−−ffsscc))ffFFaa所以≤FF11≥≥FF′′≤ss11RRbb−−ffSSccffssRa

7、Raffbb−−ffsscc小结（1）分析考虑摩擦的平衡问题，需要分析物体的运动趋势，确定摩擦力的方向；（2）根据物体的平衡条件和摩擦的临界条件确定摩擦力或极端平衡位置；（3）利用摩擦锥与自锁条件往往可以简化分析。