郑州大学2012级微积分(上)试题(a卷)及其参考答案

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1、郑州大学2012—2013学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案郑州大学2012—2013学年度第一学期期末考试微积分试卷考试时间：2小时30分钟考试方式：闭卷复查总分总复查人一、求解下列各题（每题8分，共48分）得分311．求极限lim.x11x31x评卷人23131xx1xx2解：limlimlimx11x31xx11x1xx2x11x1xx2x2lim1.x11xx2x2．求yarctane

2、的导数.1x1x1x1解：y2e2x.ex2x.e1ex1e1e2xxe.2x2x1e22x3．求由xyesiny①的函数yx的导数.解：①式两边关于x求导得22x2xyxy2xecosy.y即222xxxcosyy2xe2xey2x2xey所以y.2xcosy第1页郑州大学2012—2013学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案1lnx4.求dx.2xlnx1lnx11解：dxdxlnx

3、C.22xlnxxlnxxlnxedx5.求.1x1lnxedxe1e解：11d1lnx21lnx

4、1221.x1lnx1lnxdx6.求.0x24x8dx11x21解：dx2arctan

5、0x24x80x2222220224.8x7.求一个以yxe为其特解的二阶常系数线性齐次微分方程.解：设所求方程为ypyqy0①根据题意知，方程的①的特征方程的根应为rr1，1222因此其特征方

6、程应为r10，即r2r10.所以，所求方程为y2yy0.8.设fx是以2为周期的函数，它在,上的表达式为x,x0,fxx1,0x.求它的富里叶展开式.110解：（一）afxdxxdxx1dx1；00110afxcosnxdxxcosnxdxx1cosnxdxn0第2页郑州大学2012—2013学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案其中01

7、0100xcosnxdxnxdsinnxnxsinnx

8、sinnxdx1010sinnxdxsinnxdnxnn2101nn2cosnx

9、n211；①110x1cosnxdxn0x1dsinnxnx1sinnx

10、00sinnxdx11sinnxdxsinnxdnxn0n2011n2cosnx

11、0211.②nn故a0.(n1

12、,2,...)n110（二）bfxsinnxdxxsinnxdxx1sinnxdxn0其中010100xsinnxdxnxdcosnxnxcosnx

13、cosnxdx1n0n1[(1)cosnxdx]1；①nn110x1sinnxdxn0x1dcosnxnx1cosnx

14、00cosnxdx1nn1n11

15、111111②nnnn121n1故b111nnn2,n2,4,6,...,n21,n1,3,5,...n所以，所求富里叶展开式为12121fxsinxsin2xsin3x....,xn,nN.23得分第3页郑州大学2012—2013学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案x3评卷人二、（12分）已知函数fx，求2x1（1）函数fx的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；（2）函数图

16、形的凸性区间、拐点、渐进线；解：（一）D,11,；3x1.因为limfxlim，所以无水平渐进线；2xxx13x2.因为函数在x1处无定义，且limfxlim，故有2x1x1x1垂直渐进线x1；3.因为2fxxalimlim1,，2xxxx