2008级微积分上(a)试题及其参考答案new

《2008级微积分上(a)试题及其参考答案new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2008级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案高等数学老师：周世国2008级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案一．求下列极限（每小题5分，共20分）xxlnx1．1−x1−e−xlnxlim=lim=limx−1x−1x−1x→1e−cos(x−1)x→1e−cos(x−1)x→1e−cos(x−1)−lnx−1=lim=−1x−1x→1e+sin(x−1)cosx−1112⎧⎫ln1(+x)2.limcos(x)ln1(+x2)=lim⎨⎡1+(cosx−1)⎤cosx−1⎬x→0x→0⎣⎦⎩⎭cosx−11ln1(+x2)−=e=e2.2x−其中，cosx

2、−121lim=lim=−.22x→0ln1(+x)x→0x2⎛1⎞⎛11⎞tanx−xtanx−x3.lim⎜−cotx⎟=lim⎜−⎟=lim=lim2x→0⎝x⎠x→0⎝xtanx⎠x→0xtanxx→0x222secx−1tanxx=lim=lim=lim=0.x→02xx→02xx→02x1x2x(1cos−tdt2)(1cos−x)1cos−x1∫02x()24.lim=lim=lim=lim=.2222x→0xxx→01x→04x+xx→05x102xx+xx2二．求解下列各题（每小题5分，共20分）.1．设Fx()=(xafx−)()，其中fx()为

3、连续函数，求Fa′().2011-5-29第1页共6页12008级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案高等数学老师：周世国解：Fx()−Fa()(xafx−)()Fa′()=lim=lim=limfx()=fa()x→axa−x→axa−x→a.2．设函数()22y=yx由方程y=fx(+y)确定，其中ft()具有一阶连续导数，求dy.解：方程两边同时关于x求导，得：22y′=f′(x+y)(2x+2.yy′)(1)222xf′(x+y)所以，y′=2212−yf′(x+y)(2)222xf′(x+y)故dy=dx.2212−yf′(x+y)lnx3．设⎛sinx

4、⎞()求y=⎜⎟x>0,y′.⎝x⎠解：两边取对数，得：2lny=ln.lnsinxx−lnx.上式两边同时关于x求导，得：11cosx1y′=.lnsinx+ln.x−2.ln.xyxsinxx⎡11⎤所以y′=y.lnsinx+ln.cotxx−2.lnx⎢⎥⎣xx⎦lnx⎛sinx⎞⎡11⎤=⎜⎟..lnsinx+ln.cotxx−2.lnx.⎢⎥⎝x⎠⎣xx⎦2011-5-29第2页共6页22008级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案高等数学老师：周世国4．求方程y′′+2y′+2y=0的通解.解：特征方程为2r+2r+=20，特征根为r=−±1i，故通

5、解为−xy=e(C1cosxC+2sinx).三．求下列积分（每小题6分，共30分）11⎛11⎞11111.dx=⎜+⎟dx=dx+dx∫4∫22∫2∫21−x2⎝1−x1+x⎠21−x21+x11+x1=ln+.arctanxC+.41−x2x2(x2−1)+1122.∫2dx=∫2dx=−∫1−xdx+∫2dx1−x1−x1−xx21x21=−1−x−arcsinx+arcsinxC+=−1−x+arcsinxC+.2222另解：令x=sin,t则dx=costdt,2原式sint21cos2−tt1=∫.costdt=∫sintdt=∫dt=−sin2tC+c

6、ost224t1x21=−sin.costtC+=−1−x+arcsinxC+.2222πππsinx+sin2xsinxsin2x3.2dx=2dx+2dx∫01cos+2x∫01cos+2x∫01cos+2x其中πππsinx1π2dx=−2d(cosx)=−arctancos(x)

7、2=∫01cos+2x∫01cos+2x04；πππ2sin2x21222∫02dx=−∫02d(1cos+x)=−ln1cos(+x)

8、0=ln2.1cos+x1cos+x2011-5-29第3页共6页32008级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案高等数学老师：周世国π所以，

9、sinx+sin2xπ2dx=+ln2.∫01cos+2x4124.设x>0,f(lnx)=,求∫xf′(xdx).x−2解：因为11f(lnx)==,(x>0.)xelnxx1−故fx()==e2,(x>0).xe2222∫−2xf′(xdx)=∫−2xdfx()=xfx()

10、−2−∫−2fxdx()xx2−−22−12−1=2(f(2)+f(−2))−∫edx=2(e+e)+2e

11、=4e.−2−25+∞1+∞1+∞π.∫12dx=∫12d(lnx)=arctanln(x)

12、1=.x(1ln+x)(1ln+x)2四．求解下列各题（共10分）讨论方程−x1xe=