秦孟兆.maslov渐近理论与辛几何算法

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1、.第43卷第4期地球物理学报Vol,43,No42000年7月u,CHINESEJOURNALOF〔;EOPHYSICSJly2000I文章编号]0001一5733(2000)04一0522一12!中图分类号1.4P631asfovM渐近理论与辛几何算法秦孟兆陈景波(中国科学院计算数学与科学工程计算研究所,北京100080),asI摘要l为了克服地震层析成像中的焦散问题本文系统地研究了Mlov渐近理论与辛几何算法,同时提出了一种基于辛几何算法计算Mas,】ov波场的数值计算方法并就其中射线.,,追踪

2、这一重要环节利用辛算法和非辛Rllllge一ta计算结果表明Ku方法进行了数值模拟这,,两类算法在精度上相差无几但辛算法的速度要快;在Hilton量保持方面辛算法具有非辛amRue一方法无可比拟的优越性.ngKuta,,.I关键词】Mas,lov理论渐近焦散辛算法引言地:,震层析成像可以分为两类一类是基于射线方程的射线走时层析成像另一类是基于波动方程反演的层析成像[1].在波动方程反演层析成像中,如果认为地下结构是非均匀背景下的,,,小扰动那么将普通的射线理论用于非均匀介质时在焦散处出现奇点这使渐近

3、射线理论失.‘e,,效1一5]N毛lov根据方程变换和Founr积分算子理论在焦散处进行空间变换然后再利用凡Llrier逆变换回到原来的空间,从而得到焦散附近的渐近解.最后引进典则算子,把局部渐近解粘贴起来,得到处处有效的均匀渐近解[6].在入毛‘lov渐近解的数值计算中,所有的计算都依,a,赖于射线方程而射线方程是一个可分的IJnliltol系统而辛算法正是针对H叨iltDn系统设计,o.,,的算法它能保持仕湘11tll系统的结构另一方面用Maslov渐近理论解决焦散问题时实际上将部分空间坐标变为

4、慢坐标.因此,在数值计算中,尽量保持位置和慢向量之间的关系将十,,N拍s分重要而辛几何算法正是保持它们之间关系的算法从而辛几何算法在lov渐近理论中占有重要地位.这就启发我们探索用辛算法计算自sl.Mov波场的数值方法2Maslov渐近理论Maslov渐近理论用来构造如下方程的整体渐近解,一{u,以x元Dx)(x)=o(1)【收稿日期11999一2一23收到;2000一l一27收到修定稿.,“’,.l基金项目】国家重点基础研究项目(G199032800)和国家九五自然科学基金重大项目(4989419

5、0).t作者简介]秦孟兆,1937年生,1961年毕业于莫斯科大学数学力学系中国科学院计算数学研究所研究员,专长于偏微分方程数值计算.:4期秦孟兆等Maslov渐近理论与辛几何算法二一二。,u(x)J(、=凡(y)exp[i兄兀切](2)x。、,,,。是大参数,,,一.一,⋯,、Dx)为微分算子Dx工土乙x,(粤具)(p)称为1口l“/凡凡算子的符号.举两个例子加.以说明.21Schr6dinger方程:,_己少v~二一-△十工Inwe二一二分梦()少口l乙刀1,,一’=一’一’,一’vx,=一’

6、,x一,了,此时兄乓)兄从+(l/Zm)(兄Dx兄几)+()兄h(xl不)二二(t,x,),/酬,毛,,戈),,,乙(x’小,)一夕。+1/Zm)尹,v+vx),尹一一,,夕2,X⋯()表示内积((>((P。,l,2,。二‘,P切夕尹一夕2.2Helmholtz方程2nZ.△u(X)+。(X)u(劝=0,,,.此时x一‘=一一’兄一’+。2x乙x=一尸中+。2x兄=。以沐Dx)似DxDx>()(中)(>()求方程(1)如下形式的解ux一expT一,,()[‘“(x)]艺(‘“)乓(x)(3)哪x),

7、双x)‘了(丫),双x)是实值的.,,,.只考虑方程(l)的一阶近似解即双x兄一’。(x)=口以一“)为简单计Dx)将式(3)代,。一‘,,=人(l)令(i刃和(i幻的系数为零可得到T(x)凤(x)所满足的方程(令A(x)风(x))_/aT(x)、f,LIx止是=二l二O4)一’一’刁x/(__/日T(x)/,-a一T(::-x)、乙L!x._,口Ll工一lZ刁!、‘’一~一一一l!口x/口一了(x)l/业立坐三+丁一-二厂一;一=0.5‘)Tr!IA()刁x一‘即/Z印“丫、夕(,>表示

8、内积,Tr表示矩阵的迹.a,,.方程(4)称为HlliltoJacobi方程当L是Helmholz方程时它就是光程方程方程n-—(5)称为迁移方程.llln。nHai!to一朗bi方程通过Hamilto系统求解dx刁双x,p)伽日双x,p)(6)dt一助dl一ax:,_。=,,_。=,”一’,,初值为xlx0妙)PI尸伽)y‘ucRx0伽)为已知函数则P0伽)通过下面关系来确定夕o,.了、了、产.夕(v一dTO妙)l0勺产、l)dx0伽)L(x。伽,夕。伽))=0.)