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《数学物理方程第七章 变分法及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第7章变分法及其应用在数学物理中能够精确求解的边值问题或固有值问题并不多。因此，在实际工作中，经常采用各种近似的方法来解决具体的问题，变分法就是其中最有力的方法之一。所谓变分法就是求函数极值的方法，下面先介绍什么是泛函以及泛函极值，然后再简要介绍求泛函极值的方法以及它的一些应用。7．1泛函和泛函极值我们以前研究的函数是指这样一种现象，对于数集A中的任一个元素z，数集B中存在一个元素w与之对应，我们就说w是z的一个函数，记为w(z)。在自然现象中，不仅存在这样的数与数的对应，还存在着其他种种性质不同的对应关系。我
2、们看下面的问题。设C为区间[x,x]上满足条件01y(x)=y,y(x)=y0011的一切可微函数y(x)的集合，这里的每一个元素对应着xy平面上由点P(x,y)到点000P(x,y)的一条光滑曲线y=y(x)。用L表示曲线上PP段的弧长，则11101x12L=∫1+y′dx（7.1.1）x0显然，弧长L的值取决于曲线段PP的形状，也就是取决于函数y(x)的形状。对不同的曲01线y(x)，L的值可能不同，这样，我们就在函数y(x)与实数L之间建立了一种对应关系。为了描述这种对应关系，我们引入了泛函这个概念。设C
3、是一个由函数组成的集合，对于C中的任何一个元素y(x)，数集B中都有一个元素J与之对应，称J是y(x)的泛函数，记作J=J[y(x)]（7.1.2）由此可见，泛函与普通函数是不一样的，其差别在于普通函数的值是数，自变量也是数；而泛函的值是数，自变量却是函数，泛函的概念是函数概念的推广。由此可知，式（7.1.1）表示了一个泛函。一般情况下，泛函式（7.1.2）常用积分形式表示x1J[y(x)]=∫F(x,y,y′)dx（7.1.3）x0式中，被积函数F(x,y,y′)称为核。在实际工作中，为了完成某项任务，我们首
4、先要分析实际问题特殊现象与一般规律之间的关系，然后建立数学上的表达式。如求连接两个定点的曲线段中弧长最短的曲线*方程y(x)，即求自变量y=y，使泛函x12J[y(x)]=∫1+y′dxx0取最小值。这就是所说的泛函极值问题。x下面我们研究一下著名的最速降Ox线问题（捷线问题）：设O,A是高度不同，且不在同一铅垂线上的两定点，y如果不计摩擦和空气阻力，一质点m在重力作用下从O点沿一曲线降落至。A(p,q)A点，问曲线呈何种形状时，质点降y落的时间最短。图7-1设曲线为y=y(x)，坐标如图7－1，质点由O点开始
5、运动，它的速度v与它的纵坐标有关系2v=2gy式中，g是重力加速度。在曲线上点(x,y)处，质点的运动速度为2ds1+y′dxv==dtdt式中，s表示曲线的弧长，t表示时间，于是+′221y1+y′dt=dx=dxv2gy由于点O,A的横坐标分别是0,p，则质点m从O点运动到A点所需时间为2p1+y′t=J(y)=∫dx（7.1.4）02gy这样，质点由O点运动到A点所需时间t是y(x)的函数，最速降线问题就是满足边界条件y(0)=0,y(p)=q*的所有连续函数y(x)中，求出一个函数y使泛函式（7.1.4
6、）取最小值。对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称为极值函数。在微分学中，求函数y=y(x)的极值是求自变量x的值，当x取这些值时，y取极dy大（小）值、取极值的必要条件是=0。下面我们仿照函数微分的概念来定义泛x=x0dx函的变分概念，进而导出泛函极值存在的必要条件。设y,y是集合C的元素，称δy=y−y为函数y在y处的变分。000这里的δy是x的函数，它与∆y的区别在于：变分δy反映的是整个函数的改变，而∆y表示的是同一个函数y(x)因x的不同值而产生的差异。在本书，我们总
7、是假定y(x)和F(x,y,y′)都是充分光滑的，且y(x)在两个端点处固定，即y(a)=y,y(b)=y（7.1.5）12式中，y,y是两个常数。12下面我们考虑泛函bJ[y(x)]=∫F(x,y,y′)dx（7.1.6）a当函数y(x)有微小改变且变为y(x)+δy(x)时，利用∂F∂FF(x,y+δy,y′+δy′)=F(x,y,y′)+δy+δy′∂y∂y′上式可推出b∂F∂FJ(y+∆y)−J(y)=∫[δy+δy′]dxa∂y∂y′上式称为J(y)的变分，记为δJ(y)，即b∂F∂FδJ(y)=∫[
8、δy+δy′]dx（7.1.7）a∂y∂y′下面我们证明，泛函J(y)取极值的必要条件是δJ(y)=0（7.1.8）或者∂Fd⎛∂F⎞−⎜⎜⎟⎟=0（7.1.9）∂ydx⎝∂y′⎠设y=y(x)使泛函J(y)取极值，取函数y(x)变分的特殊形式为δy(x)=εϕ(x)式中，ε是任意小的实数；ϕ(x)是充分光滑的任意函数，并且满足条件ϕ(a)=0,ϕ(b)=0这样，函数y(x)+εϕ(x
