数学物理方程及其应用读书报告.doc

《数学物理方程及其应用读书报告.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、数学物理方程及其应用读书报告包材学院许烽M11080503001这门课程的第一章讲了数学模型的建立以及方程的定解条件和定解问题。在研究物理﹑力学和工程技术的过程中会遇到一些问题，要求反映物理模型的某种规律，这就需要建立起相应的数学模型，然后运用那个数学理论和方法求解这个数学模型，掌握有关物理量的变化规律。本章首先讲了偏微分方程的一般概念，并讨论了在偏微分方程理论中经常遇到的线性算子和对于线性偏微分方程的解成立的三个叠加原理。然后介绍了三大类二阶线性偏微分方程：双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程，它们的典型代表分别为：波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程。在介绍波动方程时，推导出了

2、一维波动方程、m维波动方程及梁的横振动方程。从弦的横振动方程的推导过程可以知道，物体的振动产生了波的传播。热传导方程描述了热传导现象。拉普拉斯方程描述了电场中的势的分布规律。为了描述在特定条件下的物理状态的规律，不仅需要建立方程，还需要附加反映边界状态的边界条件以及与初始状态有关的初始条件。第二章介绍了求解偏微分方程最常见、最基本的方法—分离变量法。分离变量法的物理背景是波动现象，但是它不仅适用于波动方程，也适用于热传导方程、拉普拉斯方程以及某些形式更复杂的方程和方程组。分离变量法的基本思想是：利用变量分离形式的特解，将求解偏微分方程的定解问题化为求解常微分方程的问题，再利用定

3、解条件和有关数学理论和方法求得定解问题的解。在利用分离变量法求解定解问题的过程中，都会涉及到求解特征值的问题。第三章介绍了特征值问题的一些结论，即施图姆-刘维尔问题的一般结论，并介绍了求解施图姆-刘维尔方程行之有效的级数解法。第四章介绍了贝塞尔函数。贝塞尔方程经常出现在圆柱对称的数学物理问题中，它是特殊的施图姆-刘维尔方程。一般说来，贝塞尔方程的解不能用初等函数表示，而只能表为级数形式。贝塞尔方程的解称为贝塞尔函数，在求解数学物理方程问题时主要是应用贝塞尔函数的完备正交性。贝塞尔方程时以圆盘的瞬时温度为例推导出来的。第五章介绍了勒让德方程并讨论了这个方程的解法及解的有关性质。勒

4、让德方程是由通过在球坐标系中对拉普拉斯方程进行分离变量引出的。勒让德方程在区间【-1,1】上的有界解构成了勒让德多项式函数系，它是一类正交函数系。前面几章讨论了分离变量法，它是求解三类典型偏微分方程的定解问题最常用的方法之一，但是它只适用于比较规则的有界区域。第六章介绍了适用于无界区域或半无界区域的定解问题的两类积分变换—傅里叶变换和拉普拉斯变换。傅里叶变换必须要求作变换的函数定义在（-∞，+∞）上；如果我们讨论的是混合问题或半无界问题，而不是Cauchy问题，那么就不能对变量X进行傅里叶变换了；如果转而设法对时间t进行变换，就需要引入拉普拉斯变换。第七章介绍达朗贝尔法。达朗贝

5、尔法的主要思想是：先求出偏微分方程的所谓“通解”，再使这样得出的通解适合定解条件，确定所要求的解。利用达朗贝尔法，可以得到弦振动方程Cauchy问题解的达朗贝尔公式，三维波动方程Cauchy问题的球对称解等。但是，达朗贝尔法不能随意地应用到一般的偏微分方程的定解问题。第八章主要介绍了拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数法。讨论了拉普拉斯方程的一些重要性质，建立了格林函数，并通过格林函数建立了拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式。