径向辛体系中一类半解析法及其单元性质

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1、http://www.paper.edu.cn1径向辛体系中一类半解析法及其单元性质112朱炳麒，周建方，卓家寿1河海大学机电工程学院(213022)2河海大学土木工程学院(100080)email:zhubq@hhuc.edu.cn摘要：在弹性力学极坐标径向辛体系中，基于Hellinger-Reissner变分原理，提出了一类求解环扇形域问题的半解析法，根据环向离散、径向解析求解的思想，在环向利用形函数进行插值，导出了半解析法的控制方程，并对单元的特性进行了分析，研究结果表明这一类半解析法的模型本质上是一种协调模型。关键词：弹性力学，径向辛体系，Hellinger-Reissner变分

2、原理，形函数，半解析法，单元性质1．引言由Hellinger-Reissner变分原理可将极坐标平面弹性问题导向两种不同形式的辛体系（即径向辛体系和环向辛体系），从而给出了圆形和环扇形域平面弹性问题的一个解析求解[1,2]方法，应用于弹性曲梁、弹性楔、断裂力学奇点解等问题，显示了辛体系求解方法的优[4~8][9]越性，并在环向辛体系中求得了极坐标弹性力学问题的一个新解。但解析法能求解的问题毕竟相当少，即使在规则区域内许多问题仍难以进行。将半解析法引入到弹性力学直角坐标辛体系中，可以求解相当一类问题。对于环扇形域问题，在辛体系中提出了将解析元与[10~13]有限元相结合的半解析法，求解了平

3、面裂纹应力强度因子等问题。本文则基于Hellinger-Reissner变分原理，在极坐标径向辛体系中，采用环向离散，径向解析求解的思想，提出了一类求解圆形和环扇形域问题的半解析法，并对其单元性质进行了分析。2．半解析法的控制方程极坐标问题中，如图1所示的环扇形域（R1≤ρ≤R2，−α≤ϕ≤α）是典型的求解区域，作ξ变换ξ=lnρ（即ρ=e），并记ξ1=lnR1，ξ2=lnR2，OR1=0极坐标问题中，如图1所示的环扇形域（R1≤ρ≤R2，R−α≤ϕ≤α）是典型的求解区域，作变换ξ=lnρ（即2ξρ=e），并记ξ1=lnR1，ξ2=lnR2，则求解区域成为ξ1≤ξ≤ξ2，−α≤ϕ≤α。再

4、引入新变量Sρ=ρσρ，图1极坐标环扇形Sϕ=ρσϕ，Sρϕ=ρτρϕ，将ξ坐标模拟为时间坐标，并用一点代表对ξ的导数，则此时1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金（项目编号：20010294002）资助-1-http://www.paper.edu.cnHellinger-Reissner变分原理的表达式为：*αξ2∂uϕ∂uρ1222Π1=∫∫−Sρu"ρ+Sϕ(uρ+)+Sρϕ(u"ϕ−uϕ+)−[Sρ+Sϕ−2νSρSϕ+2(1+ν)Sρϕ]dξdϕαξ1∂ϕ∂ϕ2E＋边界项（1）*δΠ1=0（2）对Sϕ执行变分，得∂uϕSϕ=E(uρ+)+νSρ（3）∂ϕ记TT

5、（4）q=(uρuϕ)p=(SρSρϕ)则式（1）可改写为：αξ2*TΠ1=∫∫[pq"−H0(q,p)]dξdϕ＋边界项（5）−αξ1其中Hamilton密度函数为∂uϕ∂uρ1∂uϕ21222H0=−νSρ(uρ+)−Sρϕ(−uϕ)−E(uρ+)+[(1−ν)Sρ+2(1+ν)Sρϕ]（6）∂ϕ∂ϕ2∂ϕ2E由式（5）执行变分得径向辛体系Hamilton对偶方程∂u1−ν2ϕu"ρ=−νuρ−ν+Sρ（7.1）∂ϕE∂uρ2(1+ν)u"ϕ=−+uϕ+Sρϕ（7.2）∂ϕE∂uϕ∂SρϕS"ρ=Euρ+E+νSρ−（7.3）∂ϕ∂ϕ2"∂uρ∂uϕ∂Sρ（7.4）Sρϕ=−E−E2

6、−ν−Sρϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ或v"=Hv（8）其中v为全状态向量vTTTT（9）=(qp)=(uρuϕSρSρϕ)需要指出的是：式（7.1）和式（7.2）为径向辛体系中的协调方程，式（7.3）和式（7.4）则为平衡方程。将式（5）写成矩阵形式αξT*2T1TTT∂q1T1T∂q1∂q∂qΠ1=∫∫−[pq"−pSdp+pScq+pSt+qSe1q+qSe2+Se3]dξdϕαξ12∂ϕ22∂ϕ2∂ϕ∂ϕ＋边界项（10）其中1−ν20ν00νSd=ESc=St=02(1+ν)0−110E-2-http://www.paper.edu.cnE0

7、02E00Se1=Se2=Se3=（11）00000E现对ϕ方向进行离散，沿ϕ方向剖分n个单元，n+1个结点，如图2所示。每个结点的参数为TTTTvk=(qkpk)=(uρuϕSρSρϕ)（12）其中k=0,1,2,?n为节点编号。012O-112图2区域的横向离散则ξnhT*2eT1TTT∂q1T1T∂q1∂q∂qΠ1=∫∑∫[pq"−pSdp+pScq+pSt+qSe1q+qSe2+Se3]dϕd