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1、Hamilton体系辛半解析法及在非均匀电磁波导中的应用应用数学和力学,第26卷第3期(2005年3月)AppliedMathematicsandMechanics应用数学和力学编委会编重庆出版社出版文章编号:1000-0887(2005)03-03.56437Hamilton体系辛半解析法及在非均匀电磁波导中的应用孙雁,谢军(上海交通大学工程力学系,上海2O0O3O)(钟万勰推荐)摘要:力学中的lq_amiho~体系需用对偶变量来描述,而电磁场正好有电场和磁场这一对对偶变量.尝试将力学中的Hamilton体系理论应用于电磁波导的分析,以
2、横向电场和磁场作为对偶变量,将电磁波导的基本方程导向辛几何的形式.基于Hamilton变分原理,导出横向离散的半解析系统方程,保持体系的辛结构.以非均匀波导为例,求解了方程的辛本征值问题,计算结果与解析解相当吻合.关键词:Hamilton;辛几何;半解析;非均匀电磁波导中图分类号:035;0241文献标识码:A引言电磁导波研究电磁波沿传输系统的传播问题.各向同性材料的波导问题,总可以将电磁波分为rIE波和'131波来分析.但在微波工程的许多实际应用中,波导被部分填充或被非均匀的电介质填充.这时,不可能存在纯净的rI'E波或TM波,电场和磁
3、场这两类变量同时存在,传播模式自然成为混合模式uJ.力学中的Hamilton体系采用两个对偶的混合变量来描述系统,是数学上并行于拉格朗日体系的另一种描述方式.解决非均匀或各向异性材料的波导问题,势必需要电场和磁场这两个对偶变量,这正和哈密顿体系相吻合.将力学中的Hamilton体系理论应用于电磁波导的研究,这对电磁波导的分析无疑是有益的.1Maxwell方程考虑波导被部分填充或被非均匀填充的情况.这时场满足无源Maxwell方程组.将波导的长度方向取为z坐标,其横向是,Y的直角坐标.此时方程可以表示为V'D=0,V?=0,(1a,b)V×
4、:一=一署,V×日=aD=e3E,(2a'b)收稿日期:2OO3.10-14;修订日期:2004-11.12基金项目:国家自然科学基金(重点)资助项目(10132010);国家自然科学基金资助项目(10102011)作者简介:孙雁(1965一),女,上海人,副教授,博士(:+86-21-62933081;Fax:+86-21.62933081:E-mail:sunyan@sjtu.edu.on).356孙雁谢军357其中电场强度与磁场强度向量分别为层,日,电位移强度与磁位移强度向量为D,.它们之间有本构关系D:￡层,B:,(3a,b)其中
5、￡,分别是媒质的介电常数和磁导率.2频域Maxwell方程及其Hamilton变分原理Maxwell方程是在时域列式的.化成频域列式时,电场与磁场可以表示为日=^e—i",E=iee.i",(4)其中e(,Y,z,),h(,Y,z,)待求,他们都是实型函数;是角频率.频域Maxwell方程为=R?e,(t蓐=R?h,(5a,b)而足=0aaa—aa—'3z0a3xa3ya—'3x0(6)是算子矩阵.设有有限域I,(谐振腔),其边界为S,理想导体的边界条件是以×e=0,以=ixl+irm+,l,在S上,(7)其中',,是沿坐标轴的单位向量.
6、当域内有不同的介质时,可将介电常数当作坐标的函数处理.向量场e,h应当由方程(5a,b)以及相应的边界条件解出,对于理想导体边界条件的有限区域V,其变分原理可以表达为【4,5JⅡ(,^)=Re{ⅢhT.(足一吉T^一吉ddydz),8Ⅱ:0,(8)其中向量h与e的各分量为独立变分的函数,而边界条件(7)应当预先满足.变分原理(8)适用于任意有限的三维区域,故当然可以用于柱形域,长度坐标为z而横向坐标为,Y.柱形域长度坐标z的地位与横向坐标,Y不同,故将其微商表达为(a#)z:(彝).现组成互为对偶的横向向量g,p如下g={exe)T,P=
7、{—)T,(9)变分原理对于,取极值的变分可以先行完成而给出h:=_1[Oaq2一),ez=(+),(1Oa,b)将(1Oa,b)代人变分原理,于是其泛函中只有对偶自变量g,p了.变分原理成为Ⅱ(口=f'yo[ffn+去(一3q2~2一吉唧(+3p212一吉,,)Dc3//=0,Hamilton型变分原理(11)的对偶自变量是g,P.显然其Hanfilton函数是日():吉唧Teq+1Tp一(+3p212一1[,3aq),t一axI1,(12)358Hamilton体系辛半解析法及在非均匀电磁波导中的应用采用Hamilton体系,辛几何
8、的好处是可以运用本征向量展开的方法以处理各种问题i.3对偶方程组和辛体系完成(11)的变分运算给出对偶微分方程,对偶方程组为毒(,y,z)=c+D.,(,y,z):一也Ie雪一Bop亩,(13
