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1、第第22章章非线性方程非线性方程求根求根石家庄经济学院信息工程学院马丽malimail@sjzue.edu.cn1§§2.2.11方程求根与方程求根与二分法二分法一、引言考虑单变量非线性方程f(x)=0的求根问题，其中 x∈R,f(x)∈C[a,b].非线性方程的分两类：1.代数方程,nn−1a0x+a1x+⋯+an−1x+an=0,3其中a0≠0,ai∈R(i=0,1,⋯,n).如:x−x−1=0.−x2.超越方程,如:x−e=0.2如果f(x)可以分解为mf(x)=(x−x*)g(x),其中0<
2、g(x*)
3、<∞,m为正整数.则称
4、x*为f(x)的m重零点.(m−1)(m)此时f(x*)=f′(x*)=⋯=f(x*)=0,f(x*)≠0.若f(x)∈C[a,b],f(a)⋅f(b)<0,则可用搜索法求有根区间.3−x例1求方程x−e=0的有根区间.x−1012f(x)的符号−−++方程根的数值计算大致可分三个步骤进行:(1)判定根的存在性。(2)确定根的分布范围,即将每一个根用区间隔离开来。(3)根的精确化,即根据根的初始近似值按某种方法逐步精确化,直至满足预先要求的精度为止。4二、二分法简述设f(a)⋅f(b)<0,取x0=(a+b)/2.假如f(x0)是f(
5、x)的零点，那么输出x0,停止.假若不然，若f(a)与f(x0)同号，则a1=x0,b1=b;否则a1=a,b1=x0.⋯⋯故[a,b]⊃[a1,b1]⊃⋯⊃[ak,bk]⊃⋯,xk=(ak+bk)/2→x*,k+1
6、x−x*
7、≤(b−a)/2=(b−a)/2.kkk5二分法简单且易操作。计算步骤如下：①输入有根区间的端点a,b及预先给定的精度ε;②(a+b)/2→x;③若f(a)f(x)＜0,则x→b,转向④;否则x→a,转向④④若b-a＜ε,则输出方程满足精度的根x,结束;否则转向②。6计算框图73例2求x−x−1=0在[1.0,
8、1.5]内的一个实根，准确到小数点后2位.kakbkxkf(xk)符号01.01.51.25−11.251.375+21.3751.3125−31.31251.3438+41.34381.3281+51.32811.3203−61.32031.3242−二分法优、缺点；用途。8§§2.2.22迭代法迭代法迭代法的基本思想:首先将方程f（x）=0改写成某种等价形式,由等价形式构造相应的迭代公式,然后选取方程的某个初始近似根x0,代入迭代公式反复校正根的近似值,直到满足精度要求为止。迭代法是一种数值计算中重要的逐次逼近方法。9一、不动点迭
9、代将非线性方程f(x)=0化为等价形式x=ϕ(x).(2.1)f(x*)=0⇔x*=ϕ(x*);称x*为函数ϕ(x)的一个不动点.给定初始近似值x0,可以得到x1=ϕ(x0).如此反复，构造迭代公式x=ϕ(x),k=0,1,2,⋯.(2.2)k+1k称ϕ(x)为迭代函数.10如果对任何初值x0∈[a,b],由(2.2)得到的序列{xk}有极限limxk=x*,k→∞则称迭代公式(2.2)收敛，且x*=ϕ(x*)是ϕ(x)的不动点，故称(2.2)为不动点迭代法.说明：隐式化为显式，迭代法是一种逐次逼近法；113例3求x−x−1=0在1.
10、5附近的根x*.解：（1）x0=1.5，xk+1=3xk+1,(k=0,1,2,⋯).kxk01.511.3572121.3308631.32588虽然迭代法的基本思想简单,41.32494但效果并不总是令人满意的。51.32476对于上例,若按方程写成另一61.32473种等价形式：71.324723(2)xk+1=xk−1,x0=1.5,x1=2.375,x2=12.39,⋯.12思考？�一个发散的迭代过程纵使进行千百遍，其结果也毫无价值。�故迭代公式要收敛，才能得到结果。所以涉及收敛问题。13�迭代法的几何意义:把方程求根的问题
11、改写成另外一种形式变为求数列｛xn｝的极限,实际上是把求根问题转化为求⎧y=x⎨⎩y=ϕ()x14几何意义15二、不动点的存在性与迭代法的收敛性定理1如果迭代函数ϕ(x)∈C[a,b],并且(1)∀x∈[a,b],都有ϕ(x)∈[a,b],(2)∃0≤常数L<1,使得∀x,y∈[a,b],都有满足李普希茨
12、ϕ(x)−ϕ(y)
13、≤L
14、x−y
15、;（2.4）(Lipschitz)条件那么ϕ(x)在[a,b]上存在唯一的不动点x*.定理2在定理1的条件下,对任意初值x0∈[a,b],迭代序列(2.2)均收敛于ϕ(x)的不动点x*,并有误差估计
16、kL
17、xk−x*
18、≤
19、x1−x0
20、.(2.5)1−L1还有
21、xk−x*
22、≤
23、xk+1−xk
24、.1−L161推论如果迭代函数ϕ(x)∈C[a,b],并且(1)∀x∈[a,b],都有ϕ(x)∈[a,b],(2)∃0≤L<1,
