对流占优sobolev方程的最小二乘特征

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1、第４３卷第９期山东大学学报（理学版）２００８年９月Ｖｏｌ．４３Ｎｏ．９ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｓｅｐ．２００８文章编号：１６７１９３５２（２００８）０９００４５０６对流占优Ｓｏｂｏｌｅｖ方程的最小二乘特征混合有限元方法１２郭会，林超（１．中国石油大学（华东）数学与计算科学学院，山东东营２５７０６１；２．中国石油大学（华东）网络及教育技术中心，山东东营２５７０６１）摘要：将最小二乘混合有限元法与特征有限元法有效地结合起来处理对流占优Ｓｏｂｏｌｅｖ方程。通过适当选取最小二乘能量泛函，数值方法可以分

2、裂成２个独立的子格式，并且数值方法可以同时逼近解及其梯度，选取较大的时间步长。收敛性分析表明数值方法关于变量ｕ在Ｌ２和Ｈ１范数意义下均达到最优收敛阶；关于变量σ在Ｈ（ｄｉｖ；Ω）范数意义下达到最优收敛阶。关键词：最小二乘混合有限元；特征；对流占优Ｓｏｂｏｌｅｖ方程；收敛性分析中图分类号：Ｏ２４１２６文献标志码：ＡＡｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｍｉｘｅｄｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｐｒｏｃｅｄｕｒｅｗｉｔｈｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｆｏｒｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎｄｏｍｉｎａｔｅｄＳｏｂｏｌｅｖｅｑｕａｔｉｏｎｓ１２ＧＵＯＨｕｉ，ＬＩＮＣｈａ

3、ｏ（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＳｃｉｅｎｃｅ，ＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｅｔｒｏｌｅｕｍ，Ｄｏｎｇｙｉｎｇ２５７０６１，Ｓｈａｎｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ；２．ＮｅｔｗｏｒｋａｎｄＥｄｕｃａｔｉｏｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｅｎｔｅｒ，ＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｅｔｒｏｌｅｕｍ，Ｄｏｎｇｙｉｎｇ２５７０６１，Ｓｈａｎｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｍｉｘｅｄｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｐｒｏｃｅｄｕｒｅｗｉｔｈｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｆｏｒｃ

4、ｏｎｖｅｃｔｉｏｎｄｏｍｉｎａｔｅｄＳｏｂｏｌｅｖｅｑｕａｔｉｏｎｓｗａｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｂｙｐｒｏｐｅｒｌｙｓｅｌｅｃｔｉｎｇｔｈｅｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ，ｔｈｅｐｒｏｃｅｄｕｒｅｃａｎｂｅｓｐｌｉｔｉｎｔｏｔｗｏｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｓｕｂｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓ．Ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｕａｎｄｔｈｅｆｌｕｘσｃａｎｂｅｏｂｔａｉｎｅｄｄｉｒｅｃｔｌｙ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｐｅｒｍｉｔｓｔｈｅｕｓｅｏｆｌａｒｇｅｓｔｅｐｓ．Ｔｈｅ２（Ω）ａｎｄＨ１（Ω）ｎｏｒｍｓｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅａｎａｌｙｓｉｓｓｈｏｗｓ

5、ｔｈａｔｔｈｅｍｅｔｈｏｄｙｉｅｌｄｓｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｗｉｔｈｏｐｔｉｍａｌａｃｃｕｒａｃｙｉｎＬｆｏｒｕａｎｄＨ（ｄｉｖ；Ω）ｎｏｒｍｆｏｒｔｈｅｆｌｕｘσ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｍｉｘｅｄｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔ；ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ；ｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎｄｏｍｉｎａｔｅｄＳｏｂｏｌｅｖｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅａｎａｌｙｓｉｓ０引言本文考虑如下对流占优Ｓｏｂｏｌｅｖ方程ｕｃ（ｘ）＋ｄ（ｘ）·ｕ－·（ｕｔ＋ｕ（ｘ，ｔ））＝ｆ（ｘ，ｔ），（（ｘ，ｔ）∈（Ω×Ｊ））

6、ｔ（０１）ｕ（ｘ，ｔ）＝０，（（ｘ，ｔ）∈（Γ×Ｊ））ｕ（ｘ，０）＝ｕ０（ｘ）。（ｘ∈Ω）２其中Ｊ＝（０，Ｔ），Ω为Ｒ的有界多边形区域，边界Γ满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续。ｆ＝ｆ（ｘ，ｔ）是已知函数。ｄ（ｘ）＝Ｔ（ｄ（ｘ），ｄ（ｘ））。假设存在正常数ｋ，ｋ满足：１２１２收稿日期：２００８０５２２基金项目：国家自然科学基金数学天元基金资助项目（１０７２６０３２）作者简介：郭会（１９７９），女，讲师，博士研究生，从事偏微分方程数值解研究．Ｅｍａｉｌ：ｓｄｕｇｈ＠１６３．ｃｏｍ２山东大学学报（理学版）第４３卷０＜ｋ１≤ｃ（ｘ）≤ｋ２，‖ｄ‖Ｗ∞，１＋‖

7、ｃ‖Ｗ∞，１≤ｋ２。Ｓｏｂｏｌｅｖ方程在流体穿过裂缝岩石的渗透理论，土壤中湿气迁移问题，不同介质间的热传导问题等许多数学物理方面有着广泛的应用。在许多实际应用中，常常涉及到具有对流项的Ｓｏｂｏｌｅｖ方程。对于初值问题（０１），文献［１］用标准有限元方法对此类问题进行了很好的讨论和研究。文献［２］用混合元方法处理此类问题。对于最小二乘混合元方法人们进行了大量的研究，参看文献［３］。这种方法的优越性是：方法不需要验［４］证ＬＢＢ一致性条件，并且离散形式是对称正定的。近来，芮提出了一种改进的最小二乘混合有限元方法。这种方法仍然保持了最小二乘法的优越性，同时通过适当

8、选取最小二乘能量泛函，使得格式可以分裂