第二章 控制系统的数学模型

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1、控制工程基础第第章二章控制系统的数学模型（1）同济大学赵治国副教授2012-9-16第二讲控制系统的数学模型（1）1建立控制系统数学模型的目的用于对现存控制系统的研究：控制系统的数学模型代表了对系统特性的认识，在对系统知道的更多时还可以修改和扩展模型。在实际系统尚不存在时，可以借助模型来预测设计思想和不同控制策略的效果：从而避免建造试验系统所带来的费用浪费，以及由此所带来的危险。控制系统数学模型的建立对控制系统的研究（分析）与设计（综合）具有重要意义。22012-9-16第二讲控制系统的数学模型（1）控制系统的数学模型－内容物理系统的动态描述－数学模型建立系统数学模型的一般

2、步骤非线性数学模型的线性化传递函数控制系统的传递函数系统方块图及其变换系统信号流图32012-9-16第二讲控制系统的数学模型（1）物理系统的动态描述－数学模型（1）每一个自动控制系统都是由若干元件组成的。每个元件在系统中都有各自的功能，它们相互配合，就构成了一个完整的控制系统，共同实现对某个物理量（被控制量）的控制，而满足所要求的特定规律。如果把控制系统中各物理量（变量）之间的关系用数学表达式描述出来，就得到了此控制系统的数学模型。在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量之间关系的数学方程称为静态模型。各变量在动态过程中的数学方程，称为动态模型。在自动控制

3、系统的分析中，主要是研究动态模型。42012-9-16第二讲控制系统的数学模型（1）物理系统的动态描述－数学模型（2）在自然界里，许多物理系统，无论是机械的、电气的、液压的，还是气动的、热力的，都可以通过微分方程来加以描述。在微分方程中，各变量的导数表示了它们随时间变化的特性，如位移一阶导数表示速度，二阶导数表示加速度等。因此微分方程完全可以描述系统的动态特性。微分方程是物理系统数学模型中最基本的一种。52012-9-16第二讲控制系统的数学模型（1）物理系统的动态描述－数学模型（3）系统的数学模型可以用实验法和分析法建立。试验法：对实际系统加入一定形式的输入信号，求取系统

4、的输出响应，然后对这些输入－输出数据进行处理，从而获得系统的数学模型。分析法：根据系统内部的变化机理，从元件或系统所依据的物理或化学规律出发，建立数学模型并经实验验证。机械系统的牛顿定律、能量守恒定律，电学系统的基尔霍夫定律等，都是建立系统数学模型所依据的基础。对系统的微分方程求解，就可以获得系统在外部控制作用下的动态响应。62012-9-16第二讲控制系统的数学模型（1）物理系统的动态描述－数学模型（4）同一个控制系统的数学模型可以有许多不同的形式。如对连续系统，除了微分方程外，还有传递函数、频率特性等。各种数学模型之间可以互相转换，采用那种数学模型取决于建立数学模型的目

5、的和控制方法。对于一个具体的系统，其内部结构、元件参数、特性以及外部干扰等，总是错综复杂的，为了在分析系统中，既不包罗万象，把系统数学模型搞得很复杂，又不忽略主要因素，而失去系统的准确性，必须对系统有全面透彻的了解。一个合理的数学模型应当既能准确地反映系统的动态特性，又具有较简单的形式。72012-9-16第二讲控制系统的数学模型（1）物理系统的动态描述－数学模型（5）为了建立合理的数学模型，通常都进行一定的简化和线性化。应当特别重视在建立数学模型过程中所作的假设。实际系统都在不同程度上存在非线性和分布参数特性，如果这些因素对系统特性的影响不大时，可将其忽略不计。例如：–在低

6、频工作时，可不计弹簧质量、导线的分布电容等；但在高频工作时就不能忽略这些因素的影响。–当工作点在磁化曲线或放大器特性的线性段时，可将它们看做线性的；但当工作点在大范围内变动超出线性段时，采用线性化的模型就会带来较大误差。必须注意建立数学模型的前提条件和适用范围，否则可能得出错误的结论。82012-9-16第二讲控制系统的数学模型（1）系统数学模型建立实例电系统－R,,,L,C串联电路机械系统－机械平移系统机电系统－恒定磁场他励直流电动机92012-9-16第二讲控制系统的数学模型（1）R－L－C串联电路示意图由电阻R、电感L、电容C组成的R-L-C电路，输入量为u（t），r输

7、出量为u（t），求该电路的微分方程（数学模型）c102012-9-16第二讲控制系统的数学模型（1）R－L－C串联电路的数学模型di(t)根据基尔霍夫定律：LRi(t)u(t)u(t)Crdt1u(t)i(t)dtCC2消去中间变量：du(t)du(t)CCLCRCu(t)u(t)2Crdtdt此即R-L-C电路的数学模型（输入－输出模型），它描述了输入u（t）和输出u（t）之间的动态关系。rC112012-9-16第二讲控制系统的数