第二章 控制系统的数学模型

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1、第二章控制系统的数学模型2-1在图1-22的液位自动控制系统中，设容器横截面积为，希望液位为。若液体高度变化率与液体流量差成正比，试列写以液位为输出量的微分方程式。解本题研究建立液位控制系统的微分方程数学模型。当时，液位的高度为；当时，液位的高度将发生变化。由于液体高度变化率与液体流量差成正比，所以有则以液位为输出量的微分方程式为2-2设机械系统如图2-57所示，其中是输入位移，是输出位移。试分别写出各系统的微分方程。图2-57机械系统解本题研究建立机械系统的微分方程数学模型。(1)对于2-57(a)所示系统，根据力平衡方程，在不计重

2、力时，可得则系统的微分方程式为(2)对于2-57(b)所示系统，在上部分弹簧与阻尼器之间取辅助点，并设点位移为55，方向向下。根据力平衡方程，在不计重力时，可得下列方程消去中间变量，由于，故有则系统的微分方程式为(3)对于2-57(c)所示系统，根据力平衡方程，在不计重力时，可得则系统的微分方程式为2-3试证明图2-58(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。(a)(b)图2-58电网络与机械系统解本题研究用拉氏变换法建立系统的传递函数数学模型。(1)对于图2-58(a)，根据复数阻抗的方法可得电网络的传递函数为55(2)对

3、于图2-58(b)，在弹簧和阻尼器之间引入辅助点，设其位移为，方向向下。根据力平衡方程，在不计重力时，可得对上述两式进行拉氏变换，考虑初始条件为零，可得消去中间变量则机械系统的传递函数为通过比较、可知：两传递函数的类型相同，即图2-58(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。2-4试分别列写图2-59中各无源网络的微分方程式。55(a)(b)图2-59无源网络解本题研究网络数学模型的建立方法。(1)对于图2-59(a)所示的无源网络，设通过电阻的电流为（方向自左向右），通过电容的电流为（方向自左向右），通过电阻的电流为（方向

4、自上向下），根据电压平衡可得于是从而整理后可得2-59(a)所示的无源网络的微分方程为(2)对于图2-59(b)所示的无源网络，设通过左侧电阻的电流为（方向自左向右），通过右侧电阻的电流为（方向自右向左），通过电容的电流为（方向自左向右），通过电容的电流为（方向自上向下），根据电压平衡可得：55于是从而又因为，则即整理后可得2-59(b)所示的无源网络的微分方程2-5设初始条件为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制曲线，指出各方程式的模态。(1)(2)(3)解本题考察用拉氏变换法求解线性定常微分方程。(1)由拉氏变换可得5

5、5则由拉氏反变换可得由的表达式易得系统的特征根为，故该方程的运动模态为。因此，曲线如下图所示(图中横坐标表示采样点数，采样间隔为)单位斜坡响应曲线(2)由拉氏变换可得则由拉氏反变换可得由的表达式易得系统的特征根为故该方程的运动模态为。因此，曲线如下图所示(图中横坐标表示采样点数，采样间隔为)55单位脉冲响应曲线(3)由拉氏变换可得则由拉氏反变换可得由的表达式易得系统的特征根为故该方程的运动模态为，。因此，曲线如下图所示(图中横坐标表示采样点数，采样间隔为)单位阶跃响应曲线552-6在液压系统管道中，设通过阀门的流量满足如下流量方程式中

6、，为比例系数；为阀门前后的压差。若流量与压差在其平衡点（，）附近作微小变化，试导出线性化流量方程。解本题考察流量非线性微分方程的线性化，具体做法是对非线性微分方程在其平衡点附近用泰勒级数展开并取前面的线性项，得到等效的线性化方程。在平衡点（，）处对流量泰勒展开并取一次项近似可得则线性化流量方程如下省去符号“”，上式可以简写为2-7设弹簧特性由下式描述：其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。解本题考察弹簧元件非线性微分方程的线性化，具体做法是对非线性微分方程在其平衡点附近用泰勒级数展开并取前面的

7、线性项，得到等效的线性化方程。在处对进行泰勒展开，并取一次项近似可得由上式可知，的线性化方程为上式亦可简化表示为552-8设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为式中是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。解本题考察电路非线性微分方程的线性化，具体做法是对非线性微分方程在其平衡点附近用泰勒级数展开并取前面的线性项，得到等效的线性化方程。在处对进行泰勒展开，然后再取其一次项近似可得由上式可得全控整流电路的线性化方程为2-9若系统在阶跃输入时，零初始条件下的输出响应，试求系统的传递函数和脉

8、冲响应。解本题用拉氏变换法研究系统输出响应与传递函数之间的关系。系统在阶跃输入，即时，系统的输出响应为，即则系统的传递函数为于是，系统脉冲响应为552-10设系统的传递函数为且初始条件，。试求单位阶跃输入时，系统的输出响