偏最小二乘回归在美式_亚式期权定价中的应用

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1、第21卷第1期纺织高校基础科学学报Vol.21,No.12008年3月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESMarch,2008文章编号:100628341(2008)0120124204偏最小二乘回归在美式2亚式期权定价中的应用王旭,王拉省(西安工程大学理学院,陕西西安710048)摘要:利用蒙特卡罗模拟得到几何布朗运动环境下标的资产的价格路径样本,然后应用偏最小二乘回归给出了美式2亚式期权的价格.与基于扰动分析估计的随机近似方法及普通最小二乘回归方法

2、相比,在保证精度的前提下,该方法具有更好的稳定性和更快的收敛速度.关键词:蒙特卡罗模拟;偏最小二乘回归;美式2亚式期权中图分类号:F736.2文献标识码:A0引言美式2亚式期权是场内外交易的重要期权之一,它具有两个特点:一是有约定封闭期的美式期权;二是路径依赖的.它兼具美式及亚式期权的特性,因此是一种较美式期权更为复杂的衍生证券,其价值的确定只能通过数值方法解决.文献[1]应用最小二乘回归近似美式期权的持有价值,进而为其定价,并且通过几组数值结果证明了该方法的可行性,文献[2]对这种方法的收敛性给

3、出了严格的证明.但是文献[225]同时指出最小二乘回归方法往往低估期权价值.文献[3]把偏最小二乘回归应用于美式期权定价,该方法不仅克服了文献[1]提出的普通最小二乘仿真方法存在的理论缺陷,而且还解决了该方法系统低估美式期权价值的问题.本文将偏最小二乘回归应用于美式2亚式期权定价,实验结果表明该方法不仅能够弥补普通最小二乘回归往往低估期权价值的不足,也能够更快地收敛于期权的真实价值,而且在标的资产价格过程的[5]模拟次数相同的情况下,标准误差相对于基于扰动分析估计的随机近似方法(即PASA)与普通

4、最小二[1]乘方法(即LS)都小,因而该方法具有更好的稳定性.1美式2亚式期权定价理论美式2亚式期权就是在规定的某些特定交易日均可以敲定价格执行的期权,其收益不仅与交易当日标的资产价格有关,而且还与交易日之前一段时期内的算术平均价格有关,它兼具美式、亚式期权的特性,因此被称为美式2亚式期权.1.1基本假设假定当前时刻为0,并且此时标的资产的价格为S0,期权的最终到期日为T,期权在T0(0

5、日τ之前的τ-T0长度时间段内的平均价格,期权最早执行时间为T1,提前执行机会的次数为n,那么可执行时间间隔为(T-T1)/n.为了进行蒙特卡罗模拟,将[0,T]时间区间分为N个长度相等的时间段,即0=t0

6、陕西省岐山县人,西安工程大学教授.E2mail:wanglasheng@126.com第1期偏最小二乘回归在美式2亚式期权定价中的应用1251.2标的资产价格路径的模拟(蒙特卡罗方法)假设标的资产的价格过程服从几何布朗运动,即dS/S=rdt+σdW,(1)其中r和σ分别为标的资产的无风险利率和波动率,dS为标的资产价格的微小变化,W为维纳过程,dW为维纳增量,dW=εdt,ε服从标准正态分布,由ItÉ定理,式(1)可化为2dlnS=(r-1/2σ)dt+σdW.(2)将式(2)离散化,有2lnS

7、i-lnSi-1=(r-1/2σ)Δt+σΔtεi,i=1,2,⋯,N,εi～N(0,1).(3)可见,给定期权发行日标的资产的价格S0,任意时刻i,标的资产价格Si由2Si=Si-1·exp{(r-1/2σ)Δt+σΔεti},(4)或者i2Si=S0·exp{(r-1/2σ)iΔt+σΔt∑εk}(5)k=1给出.由式(4)或式(5)可以得到标的资产价格的一条样本路径S1,S2,⋯,SN,如此模拟M次,可以得到M条价格路径,最终得到价格路径矩阵111S1S2⋯SN222S1S2⋯SNP=.……

8、……MMMS1S2⋯SNM×N1.3期权价值的计算由于美式2亚式期权(本文只考虑看涨情形)具有美式期权特性,即可以提前执行,因此在求解其价值时需要计算在可执行时点上该期权的执行价值和暂不执行情况下的持有价值,并取两者中较大的作为期权在该时点上的价值.设在时间点i(i1≤i≤N),标的资产的价格为Si,按照期权合约计算的标的资产的平均价格为Ai,根据美式2亚式期权的支付函数,可得此时期权的执行价值eVi=max{Ai-K,0},(6)而持有价值的计算为hQeVi=Ei[exp(-r(