全矩阵无积分间断有限元方法实现new

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1、#全矩阵无积分间断有限元方法实现**谭勤学，任静，蒋洪德（清华大学热能工程系）5摘要：本文主要针对间断有限元方法计算量及存储量开销巨大的问题，提出一种节约计算量及存储量的实现方法。使用该方法，在相同自由度条件下，间断有限元方法计算速度及存储量与普通有限体积方法相当。另外结合有限体积隐式求解方法，实现间断有限元方法精度多重网格，进一步有效加快间断有限元方法收敛速度，改善收敛特性。关键词：间断有限元，精度多重网格，无积分,矩阵运算10中图分类号：V231.1Quadrature-freeimplementation

2、ofDiscontinuousGalerkinMethodUsingMatrixProductFormulaTanQinxue,RenJing,JiangHongde15(TsinghuaUniversity,Beijing100084)Abstract:Inthispaper,adiscontinuousgalerkinonlyincludematrixoperationformulationthatavoidstheuseofdiscretequadratureformulasisdescribed.Usi

3、ngthismethod,thememoryrequirementsandcomputingspeedarealmostequaltothefinitevolumemethodWhendegreesoffreedomofthesame.Ap-multigriddiscontinuousGalerkinmethodthatcombineexplicitDGMandimplicitFVMis20presentedforthesolutionofthecompressibleEulerequationsonunstr

4、ucturedgrids.Andthecomputationcanconvergemuchbetterandfasterwiththisp-multigridmethod.Keywords:DiscontinuousGalerkinMethod,p-multigrid,QuadratureFree,MatrixOperation0引言25间断有限元方法(DGM,DiscontinuousGalerkinMethod)最早是由Reed和Hill在1973年[1]提出的，用于中子输运方程的求解。该方法结合了有限体积

5、方法(FVM)和有限元方法(FEM)的基本思想，特别易于处理复杂边界及边值问题，同时具有灵活处理间断的能力，且可以通过适当选取基函数，提高单元插值多项式的次数来实现任意高阶精度，另外具有容易实现自[2]适应、并行计算等优势。由于这些优异性质，在欧洲探讨用于未来工业设计高阶CFD程[3]30序的ADIGMA计划中，间断有限元方法被认为是最有前途的算法之一。近年来DGM得到了非常大的发展，其中以Cockburn&Shu提出的龙格库塔间断有限元[3-7]方法尤为突出，得到了广泛的应用。Cockburn和Shu引入龙格

6、库塔DGM求解Euler方程。[8]Bassi&Rebay将DGM用于求解可压NS方程，在求解过程中将混合有限元的思想引入DGM[9]中。Cockburn&Shu将Bassi和Rebay处理梯度的方法和龙格库塔DGM结合提出了[10]35LDG(LocalDiscontinuousGalerkin)方法，用于求解可压缩NS方程。在文献，Cockburn和Shu综述了使用LDG求解不可压问题。同时，现阶段DGM也有很多问题需要解决。其中准确有效，鲁棒性好的限制器是DGM[3-7][11]面临的重大挑战之一：Coc

7、kburn中提出了修正MinMod限制器的TVB限制器，Luo使基金项目：高校新教师基金(20090002120033)作者简介：谭勤学(1986-),男，博士研究生，燃气轮机二次空气系统及高精度算法通信联系人：任静,女，教授，燃气轮机透平传热.E-mail:renj@mail.tsinghua.edu.cn-1-[12]用了Barth&Jesperson的限制器并结合使用Krivodonova的间断探测器来判断光滑区。另外40DGM较大的计算量及存储量开销，是影响DGM实用化的重要限制因素之一：DGM计算中使

8、用k阶多项式进行插值，三维情况下插值多项式的数量为(k+1)(k+2)(k+3)/6，此时体积分要求2k+1阶精度，面积分至少要求2k阶精度，在使用龙格库塔求解时要求CFL<1.0/(2k+1)，[11]这些因素致使DGM的计算量和存储量都非常庞大。现阶段，p多重网格方法，无矩阵隐[13][14][15]式方法，无积分方法，h多重网格方法等方法应用于DGM中来加快收敛速度和减少45存储