5、唐家山堰塞湖泄洪的理论模型及数值模拟

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1、第39卷第16期数学的实践与认识Vol139No1162009年8月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYAugust,2009唐家山堰塞湖泄洪的理论模型及数值模拟1213王莉,高毅欣,程佩佩,魏永生(1.西安交通大学理学院,陕西西安710049)(2.西安交通大学电信学院,陕西西安710049)(3.北京交通大学理学院,北京100044)摘要:针对2008年全国研究生数学建模竞赛A题,研究和解决汶川地震中唐家山堰塞湖的泄洪问题.建立了唐家山堰塞湖的蓄水量模型、溃坝模型、洪水演进模型和人员调度模型等理论模型,并给出了这

2、些模型的精确数值模拟.模拟结果显示,提出的模型具有较高的精度,依据该模型提出的调度方案能够合理解决泄洪时的人员撤离问题,具有重要的参考意义.关键词:产汇流估计;圣维南方程组;动态模拟;网络流算法1问题分析2008年5月12日14:28在我国四川汶川地区发生了8.0级强烈地震,给人民生命财产和国民经济造成了极大的损失.地震引发的次生灾害也相当严重,截至5月22日,震灾区共发现堰塞湖33处,其中以唐家山堰塞湖尤为严重.唐家山堰塞湖距离北川县城6公里,大坝坝顶高程750.2米,坝高82.8米,顺河长约220米,湖上游集雨面积3550平方公里.地震

3、后每天新增至少500万立方米的水量,随着水位不断上涨,对下游地区造成了严重威胁.本文工作旨在:1)建立唐家山堰塞湖以水位高程为自变量的蓄水量数学模型;2)在合理的假设下,建立堰塞湖蓄水漫顶后在水流作用下发生溃坝的数学模型,包含缺口宽度、深度、水流速度、水量、水位高程,时间等变量;3)根据数字地图给出坝体发生溃塌、造成堰塞湖内1ö3的蓄水突然下泻时的洪水水流速度及淹没区域;4)根据地形和人口数据,提出当上述溃坝情况发生时的有效调度方案,从而极大减少损失.2蓄水量模型设唐家山堰塞湖的水位高程和蓄水量分别为时间t的函数H(t)和V(t),并设t时

4、刻湖面面积为S.t根据流入堰塞湖中的水体积与堰塞湖新增水体积相等,建立微分方程:dV(t)=StõdH(t)(2.1)根据[4]可知,唐家山堰塞湖的湖面面积S和时间t之间是分段线性函数,水位高程H(t)和时间t之间的关系也是一个分段多项式函数,即:mH(t)=ai(t-Ti-1)+H(Ti-1),Ti-1Ft

5、湖泄洪的理论模型及数值模拟51[2]植物截流、洼坑存蓄、下渗和蒸发等.设在时间Ti到Ti+1内,三个因素的水量分别为:D1,i,D2,i,D3,i,则堰塞湖水量的增长为V(Ti+1)-V(Ti)=D1,i+D2,i-D3,i.给定m后,代入不同的Ti,Ti+1,可以得到相应的ai,i=1,2,⋯,N,即得到水位高程H(t)和时间t之间的函数表达式.对i=1+N,取aN+1为系数ai,i=1,2,⋯,N的平均值.令V(T0)=V0为初始堰塞湖的水容量,对表达式(3.1)从0到t进行积分,设t在第N+1个时间区间内,得蓄水量随时间的变化关系为:

6、N-11aimkim+1m+1V(t)=V0+∑(Ti+1-Ti)i=0m+1m+1aNmkNm11H(t)-h0+-Tm+1(2.3)Nm+1aN11根据式(2.2),坝前水位高程H是关于时间t的分段高阶多项式函数,阶数m不确定.首先在m取不同的值下估计水位高程,得到一簇估计值.当mE8时,曲线基本不再变化,且最逼近于真实数据,因此,从减小模型的复杂性考虑,阶次m选择为8.图1水位高程随时间变化图图2蓄水量随时间变化图根据5月14号到5月22号的回水长度和回水面积数据,预测从5月25号到6月12号唐家山堰塞湖的水位上涨情况如图1所示,可见

7、模型与真实值相当逼近.其中时间指标以5月1日为参考点,单位为天.值得注意的是,由于真实情况下6月10日开始人工泄洪,此后水位高程与蓄水量急剧下降.而模型估计时要求不考虑排水渗漏等因素,因此该模型可作为堰塞湖自然发展状况的风险预测参考,具有重要的指导意义.由模型估计出的以水位高程为自变量的蓄水量变化如图2所示.由于模型不考虑渗漏泄洪等因素,真实值的范围仅考虑到水位上升阶段.由图2可见,蓄水量与水位高程的关系与真实的情况非常接近,说明该模型具有很高的估计精度.3溃坝模型唐家山堰塞湖坝体为典型土石坝,在溃决过程中和溃决后的溃口的形状不同,其流量和

8、[6]水位的过程也不同.根据美国国家气象局溃坝洪水预报DAMBRK模型简化,限定溃口为几种基本的几何图形:三角形、梯形或矩形,如图3所示.根据溃口处洪水流量Q与溃口宽度W及洪水流