半环上的分式理想

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1、第l9卷第3期山东科学V01．19No．32O06年6月SHANDIDNGS(：ⅡCEJun．2006文章编号：1~xr2-402612006103-0066-03半环上的分式理想郝建功(山东师范大学数学科学学院，山东济南250014)摘要：本文通过定义半环上的分式理想，进行一系列推广．关键词：半整环；半环；半群；半模；分式域；同态中圈分类号：O152．7文献标识码：AMR{2000I主题分类号：16Y601引言本文主要将环上的分式理想推广到半环上，相应地得出其性质，并将其与环上的分式理想进行了比较．本文出现的一般术词和符号均见文献n]．在非空集合5中定义两种运

2、算“+”和“*”，(s，+)和(，*)均是半群，且Va，b，C∈S，满足(a+6)C=+bc，o(b+c)=+ac，则称S是半环。若(s，*)满足无零因子、有单位元、乘法交换，则称s为半整环．设尺，是半环，：尺一，适合Vr，r：∈尺，(r+r：)：r)+r2)，(rr：)=(r)f(r：)，则称为尺到的同态映射．设尺是交换半群，M是交换幺半群，在R×M上定义一个函数：R×M—M，(r，m)卜肌，则Vr，r∈R，m，mEM，满足(1)(rr)m=r(册)；(2)(m+m)=肌+肌；(3)(r+r)m=肌+rm，则称M为尺一半模．若J7、r为M的子集，且满足(1)(

3、2)(3)，则称J7、r是M的子半模．如果M，J7v为R一半模，记所有尺一半模同态为Hom(M，N)，其中，a，卢∈Horn(M，N)，m(a+卢)=rift0／+，．若M，J7、r是尺一半模，：R×M—J7、r满足Vm1，m2∈M，r∈尺，(ml+m2)=(m1)+m2)，(舰1)=or(m1)，则称f的半模同态．设是半环尺的子集，若V，：rET，+Y，∈，则称为R的子半环；若为R的子半环，且VrER，Vt∈T，n，trET，则称为的理想．．2主要结果定义2．1设R是半整环，K是它的分式域，R的一个分式理想是K的非零子一半模，并且存在非零元素a∈R，使得alc

4、R．命题2．2半整环中R每个非零理想均是尺的R一子半模，从而为R的分式理想；反之，R的每个分式理想如果包含在尺之中，必然是尺的通常理想．命题2．3K的每个有限生成尺一子半模，是R的分式理想．证明：若，是由b1，62，⋯，b∈K生成的，则，=硒1+⋯+Rb，并且对于每个i，6Cl／a，其中Ⅱ≠，c∈尺．令Ⅱ：Ⅱ1Ⅱ2⋯口，则n≠0．而al=Ra2⋯anC1+⋯+Ra1⋯a一1ccR．口收稿日期：2oo5．o8-Ol作者简介：郝建功(1979一)，男，硕士研究生，研究方向为基础数学。第3期郝建功：半环上的分式理想67命题2．4是半整环，K是的分式域，则R的全部分式理

5、想集合形成一个含幺交换半群，其幺元素为，而乘法是／J={∑Iaib10∈，，6∈-，，凡∈N}．证明：(1)，是R的分式理想，，是尺的分式理想，则el,，6∈R，0，6≠0有alcR，b,lcR，则(ab)1．1C(a1)()CRCR，IJ则是的分式理想．(2)易见结合律成立．(3)是交换的，则有IJ=J1．(4)易见幺元是R．口定义2．5半整环的分式理想，叫做可逆的，是指存在的某个分式理想-，，使得=．命题2．6(1)可逆分式理想的，逆是唯一的，并且，～={0∈KIalCR}；证明：V分式理想，，集合r‘={0∈KIalCR}也是分式理想，并且，，～：厂‘，C

6、R．如果是，可逆的，并且I．I=,11=R，显然JC，l‘．反之，因为厂‘和均为K的一子半模，从而，l‘=～=()厂‘=-，(III1)／JR=P,JcJ，于是J=，l‘．口命题2．7若，，A，均是的半整环分式理想，并且=佃，而，是可逆的，则A=R4=(II)A=Jr(IB)=RB=B．命题2～若，为中的通常理想，则c，1‘．命题2．9半整环中每个非零主理想都是可逆的．证明：若是分式域，而Jr=(6)，其中b≠0，令J=RcCK，其中c=1R／b，则J为的分式理想，且IJ=R．口定理2．10设是，，，。，，2，⋯厶半整环尺的理想，(1)理想，。，厶⋯厶可逆§每个

7、理想均是可逆的．(2)~tn果P。，P⋯尸爪=Q。Q⋯Q，其中P。，Q。均是中的素理想，并且每个P均可逆，则In,=／／,，并且(在重新加以标记后)P=Q。(1sIn,)．证明：(1)若-，为分式理想，使-，(，。，⋯)=R得，则对每个=1，2，⋯，／／,，我们有(。⋯一。+。⋯厶)=R，从而可逆．反之，若每个是可逆的，则(，。，2⋯厶)(厶一一II--)=R，因此，。，2⋯厶可逆．(2)若In,=1，则P。=Q⋯Q．P。是素理想，存在CP。，又P。=Q。Q：⋯QC，所以P。=．若m>1，取一个P．不妨设为PI，使得2sim时，PI均不真包含P，由于PIP⋯P爪

8、=QIQ⋯Q，而P。为素