数值分析第七讲

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1、第七章数据拟合与函数逼近7.1拟合与逼近本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函数的问题.上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似标准是在插值点处误差为零.但在实际应用中,有时不要求具体某些点误差为零,而要求考虑整体的误差限制,这就引出了拟合和逼近的概念.7.1.1数据拟合对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况.若将每个点都当作插值节点,则插值函数是一个次数很高的多项式,比较复杂.而且由于龙格振荡现象,这个高次的插值多项式可能并不接近原函数.同时由于数表中的点一般是由观察测量所得,往往带有随机误差,要求近似函数过所有的点既不现实也不必要.1结束如果不是要求近似函数过

2、所有的数据点,而是要求它反映原函数整体的变化趋势,可得到更简单更适用的近似函数,这样的方法称为数据拟合.数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法则：设f(x)为原函数,(x)为近似函数,(xi,f(xi))(i=0,1,…,n)为数据点,要求选择(x)使n2f(xi)(xi)i0为最小.当(x)选择为多项式时,称为多项式拟合.最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理方法之一.它常用于把实验数据(离散的数据)归纳总结为经验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.2结束7.2超定方程组的最小二乘解设Ax=b中A=(a),b是m维已知向量,x是n维解向量.

3、当m>n时,即ijm×n方程组中方程的个数多于未知量个数时,称此方程组为超定方程组或矛盾方程组.一般说,超定方程组无解.但有时需要寻找一个“最近似”的解.记r=b-Ax,定义使‖r‖2为最小的解x*为Ax=b的最小二乘解.关于超定方程组的最小二乘解有如下定理：定理7.1x*为Ax=b的最小二乘解的充要条件为ATAx*=ATb.证明(略)以上定理说明求解超定方程组Ax=b的最小二乘解可转化为求解它对应的正规方程组ATAx*=ATb.ATA是对称正定的系数阵,此方程组可用平方根法或SOR方法求解.3结束7.3多项式拟合仍假设有已知数据组(x,y)(i=0,1,2,…,m).现求作一个不超

4、过iinn(n

5、a1y12nay1xmxmxmnm是一个超定方程组.由定理7.1可得对应的正规方程组2nm1xixixia0yi23n1xixixixia1xiyixnxn1xn2x2naxnyiiiinii以上的∑记号均为从0到m求和,记mmkkSkxi,tkxiyi.(i0,1,2,,m,mn)i0i0则上式可改写为5结束S0S1S2Sna0t0

6、S1S2S3Sn1a1t1SSSSatnn1n22nnn通过解该正规方程组便可解出a,从而确定出拟合多项式P(x).kn多项式拟合的一般方法可归纳为：(1)根据具体问题,确定拟合多项式的次数n；mmkk(2)计算Skxi,tkxiyi.i0i0(3)写出正规方程组(4)解正规方程组,求出a,a,…,a；01n(5)写出拟合多项式P(x)n6结束设正规方程组的解为：****aa,aa,aa,,aa001122nn则以此解为系数的多项式****2*np(x)aaxax

7、axn012n就是最小二乘拟合多项式。例1设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。x356810y521247结束解首先作平面散点图如下：y54321x012345678910从图中观察,这5个点大致在一条抛物线的附近,可考虑2用二次多项式p(x)aaxax进行拟合。2012然后计算正则方程组(m=4)8结束25a0xia1xia2yi23xia0xia1xia2xiyi2342