数值分析第一讲

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1、第一章绪论运用数学方法解决科学研究或工程技术问题，一般按如下途径进行：实际问题模型设计算法设计问题的解上机计算程序设计其中算法设计是数值分析课程的主要内容.数值分析课程研究常见的基本数学问题的数值解法.包含了数值代数(线性方程组的解法、非线性方程的解法、矩阵求逆、矩阵特征值计算等)、数值逼近、数值微分与数值积分、常微分方程及偏微分方程的数值解法等.它的基本理论和研究方法建立在数学理论基础之上，研究对象是数学问题，因此它是数学的分支之一.1结束同时它又与计算机科学有密切的关系.我们在考虑算法时，往往要同时考虑计算机的特性，如计算速度、存贮量、字长等技术指

2、标，考虑程序设计时的可行性和复杂性.如果我们具备了一定的计算机基础知识和程序设计方法，学习数值分析的理论和方法就会更深刻、更实际，选择或设计的算法也会更合理、更实用.在科学研究、工程实践和经济管理等工作中，存在大量的科学计算、数据处理等问题.应用计算机解决数值计算问题是理工科大学生应当具备的基本能力.§1.1算法解决某类数学问题的数值方法称为算法(本教材）.为使算法能在计算机上实现，它必须将一个数学问题分解为有限次的+、-、×、÷运算和一些简单的基本函数运算.2结束1.1.1算法的表述形式算法的表述形式是多种多样的.1、用数学公式和文字说明描述，这种方

3、式符合人们的理解习惯，和算法的推证相衔接，易于学习接受，但离上机应用距离较大.2、用框图描述，这种方式描述计算过程流向清楚，易于编制程序，但对初学者有一个习惯过程.此外框图描述格式不很统一，详略难以掌握.3、算法描述语言，它是表述算法的一种通用语言。有特定的表述程序和语句。可以很容易地转化为某种计算机语言，同时也具有一定的可读性。4、算法程序，即用计算机语言描述的算法，它是面对计算机的算法。我们以后讨论的算法，都有现成的程序文本和软件可资利用.但从学习算法的角度看，这种描述方式并不有利.3结束本教材将采用前三种方式表述各种算法.1.1.2算法的基本特点

4、1、算法常表现为一个无穷过程的截断：π例1计算sinx的值，x0,4根据sinx的无穷级数3572n1xxxnxsinxx(1)(1.1)3!5!7!(2n1)!这是一个无穷级数，我们只能在适当的地方“截断”，使计算量不太大，而精度又能满足要求.如计算sin0.5，取n=33570.50.50.5sin0.50.50.4796253!5!7!4结束据泰勒余项公式，它的误差应为9R(1)90,(1.2)9!49(/4)7R3.1310362880可见结果是相当精确的.实际上

5、结果的六位数字都是正确的.2、算法常表现为一个连续过程的离散化11例2计算积分值.Idx01x将［0，1］分为4等分，分别计算4个小曲边梯形的面积的近似值，然后加起来作为积分的近似值(如图1-1).记被积1函数为f(x)，即f(x)1x5结束1yh,xiih,i0,1,2,341f(x)f(x)1ii1Thyi21x3ITii0计算有：I≈0.697024，与精确值0.693147比较，可知结01x果不够精确，如进一步细分图1-1区间，精度可以提高.3、算法常表现为“迭代”形式.迭代是指某一简单算法的多次重复，后一次使用

6、前一次的结果.这种形式易于在计算程序中实现，在程序中表现为“循环”过程.例3多项式求值.2nP(x)aaxaxaxn012n6结束用tk表示xk，uk表示(1.4)式前k+1项之和.作为初值令：t10(1.5)ua00对k=1,2,…,n，反复执行：tkxtk1uuat(1.6)kk1kk显然P(x)=u，而(1.6)式是一种简单算法的多次循环.nn7结束例4不用开平方计算a(a＞0)的值.a假定x0是a的一个近似值，x0＞0，则x≈a也是a0的一个近似值，且x0和两个近似值必有一个大于a，x0另一个小于a可以设想

7、它们的平均值应为的更好的平均值，于是设计一种算法：8结束1axk1xk(k=0,1,2,)(1.8)2xk如计算3，取x0=2，有13xk1xk(k=0,1,2,)2xk计算有：x=20x=1.751x=1.73214292x=1.73205083…可见此法收敛速度很快，只算三次得到8位精确数字.迭代法应用时要考虑是否收敛、收敛条件及收敛速度等问题，今后课程将进一步讨论.9结束§1.2误差1.2.1误差的来源在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可能带来误差.1、模型误差在建立数学模型时，往往要忽视

8、很多次要因素，把模型“简单化”，”理想化”，这时模型就与真实背景有了差距，即带入了误差.2、测