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1、第七章第七章非线性方程求根非线性方程求根§§11二分法（对分法）二分法（对分法）§§22迭代法的算法和理论迭代法的算法和理论§§33迭代加速收敛的方法迭代加速收敛的方法§§4Newton4Newton迭代法迭代法§§55弦割弦割法和抛物线法法和抛物线法西北工业大学理学院欧阳洁1一一..研究数值解法的必要性研究数值解法的必要性1一般方程的根无法用解析表达式给出；2三次、四次方程的求根公式较繁。需要给出求根的近似值的方法。需要给出求根的近似值的方法。二二..方程方程的根的根*方程f(x)=0的解x称为方程f(x)
2、=0的根或称为f(x)的零点。*m若，f(x)=(x−x)g(x)其中m为正整数，**g(x)满足g(x)≠0，显然x为f(x)的零点。这**时，称x为f(x)的m重零点，或称x为f(x)=0的m重根。西北工业大学理学院欧阳洁2*定理定理若f(x)具有m阶连续导数，则x是f(x)的m重零点之充要条件为：**(m−1)*(m)*f(x)=0,f′(x)=0,L,f(x)=0,f(x)≠0三三..根的搜索根的搜索求方程根的近似值之前，一般需要首先确定隔（有）根区间隔（有）根区间[a,b]（在[a,b]上方程仅有一
3、个根）。方法：方法：通过函数f(x)的增减性、凹凸性、变号特征等，并结合做草图来确定隔（有）根区间[a,b]。西北工业大学理学院欧阳洁3§§11二分法（对分法）二分法（对分法）基本思想：基本思想：通过区间逐次分半，将有根区间逐步缩小。设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且在[a,b]*内f(x)=0仅有一个实根x。记[a,b]为[a,b]111①①计算[a1,b1]中点x1=(a1+b1)的函数值f(x1)2*若，f(x)=0则x=x11*若，f(x1)f(a1)<0则x∈[a1,x1]。令a
4、2=a1,b2=x1*若，f(x1)f(b1)<0则x∈[x1,b1]。令a2=x1,b2=b1新的有根区间[a,b]的长度2211b−a=(b−a)=(b−a)221122西北工业大学理学院欧阳洁4a+b22②②再计算[a2,b2]中点x2=的函数值f(x2)。2*若，f(x2)=0则x=x2fxfa<*若，(2)(2)0则x∈[a2,x2]。令a3=x2,b3=x2*若，f(x2)f(b2)<0则x∈[x2,b2]。令a3=x2,b3=b2新的有根区间[a,b]的长度3311b−a=(b−a)=(b−a)
5、3322222如此对分下去，则得到一系列有根区间[a,b]>[a,b]>L>[a,b]>L1122kk11且bk−ak=(bk−1−ak−1)=L=k−1(b−a)22西北工业大学理学院欧阳洁5a+bkk由xk=2*11得xk−x≤(bk−ak)=k(b−a)k=1,2,L22当对分过程无限继续下去，则有根区间必*收缩为一点，即limxk=xk→∞具体做法具体做法1(1)给定(b−a)<εε每步检查k是否成立，2*若成立，取x≈xk，否则继续对分。1或令k(b−a)<ε，先确定对分次数k，再计算xk。2*b−
6、a(2)误差估计为xk−x≤k211b−a=(b−a)=L=(b−a)kkk−1k−1k−1西北工业大学理学院欧阳洁226优点优点对函数性质要求不高（只要函数连续）；计算简单，且可达到任意精度。缺点缺点计算量大；不能求复根与偶重根。西北工业大学理学院欧阳洁7§§22迭代法的算法和理论迭代法的算法和理论一一不动点迭代法不动点迭代法对给定的方程f(x)=0，将其变为等价的方程xx==ϕϕ((xx))x=ϕ(x)k=0,1,L构造k+1k{xk}k=0,1,L称为迭代序列，ϕ(x)称为迭代函数。xk+1=ϕ(xk)
7、称为迭代格(公)式或迭代过程。当ϕ(x)连续时，若若limxk+1=A则有k→∞limx=limϕ(x)=ϕ(limx)k+1kkk→∞k→∞k→∞即A=ϕ(A)故序列序列{xk}的极限为方程的极限为方程x=ϕ(x)(或ff((xx)=0)=0)的根的根。西北工业大学理学院欧阳洁8****若满x足x=ϕ(x)，称为xϕ(x)的不动点。**即映射关系ϕ将x映射到x本身。***因f(x)=0⇔x=ϕ(x)求求ff((xx))的零点等价求的零点等价求ϕϕ的不动点。的不动点。也称xk+1=ϕ(xk)k=0,1,L为不
8、动点迭代法（简单迭代法或逐次逼近法）。迭代序列的收敛性及收敛速度依赖于迭代序列的收敛性及收敛速度依赖于迭代函数的选取。迭代函数的选取。西北工业大学理学院欧阳洁9二二不动点迭代法的一般理论不动点迭代法的一般理论定理（不动点定理）定理（不动点定理）1已知x=ϕ(x)，若ϕ(x)∈C[a,b]IC（a,b）且①①对，∀x∈[a,b]有a≤ϕ(x)≤b；②②存在常数0
