微观经济学 数学基础 第8章 概率论new

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1、第八章概率论基础1第八章概率论基础7基础微积分7线性代数8概率论9随机微积分10鞅11偏微分方程11数值方法8．1概率公理和随机变量8．3．3条件数学期望的性质8．1．1初等情形8．4随机变量的数值特征8．1．2概率公理8．4．1中心矩和原点矩8．1．3随机变量及其分布8．4．2方差、高阶矩和协方差8．1．4随机序列的收敛8．4．3矩母函数和特征函数8．1．5多维情形8．4．4线性概率空间8．2数学期望8．5几个重要的概率分布8．2．1数学期望和积分8．5．1二项分布8．2．2数学期望的性质8．5．2泊松分布8．2．3收敛定理8．5．3一致分布8．3条件概率和条件期望8．5．4正态分

2、布和对数正态分布8．3．1初等情形8．5．5极限定理8．3．2条件期望本章的学习目标为：¾理解概率的古典和测度定义以及相关的性质¾理解随机变量的测度定义以及它的分布函数和密度函数¾了解随机变量的收敛方式和重要的收敛定理¾掌握数学期望的测度定义和性质¾明确条件概率、理解数学期望的测度定义¾掌握条件数学期望的重要性质、明确独立性的定义¾掌握随机变量的重要数值特征，例如方差、协方差、矩母函数和特征函数¾了解线性概率空间的概念和它同一般线性空间的联系¾熟悉几种重要分布的定义、数值特征以及它们在构造金融模型时的应用¾了解大数定理和中心极限定理(微观)金融理论研究涉及的核心问题有两个，一个是不确

3、定性，另一个是时间或者说动态过程。而概率理论正是构造不确定环境下金融模型的基本工具，而且它还是下一章随机过程理论的基础，因此它在金融分析和金融分析工具中的重要性是不言而喻的。我们这样安排本章材料：首先简要的回顾一下初等概率论中的概率和随机变量定义，然后用严格的测度语言重新表述一次。接下来考察在随机分析中非常重要数学期望和条件数学期望概念和性质。对于有经验的读者，建议在学习完以上内容后，直接前往与之紧密联系的第10章——鞅。然后我们进一步考察随机变量的主要数值特征。借助这些数值特征，我们描述几个在研究第八章概率论基础21金融资产价格运动时，必须牢固把握的概率分布。最后则是对极限定理的一

4、个简要探讨。8．1概率公理和随机变量8．1．1初等情形最早对于概率行为的研究兴趣，可能是从赌博开始的。例如早期的研究者很认真地探讨在抛硬币猜正反的赌博中，连续开20次“花”的机会有多少。这里的概率一词可以做多种理解：1)首先它可以被解释为基于某种实际测量的相对频率(frequency)。例如掷一枚质地均匀硬币，出现某一面朝上的频率最终会稳定下来。用N来表示试验总次数，用n来表示某种情形发生的次数，则概率就可以定义为：n8．1．1P=N显然这个相对频率只有趋于稳定，该种概率定义才有意义。历史上有一些著名的例子可以作为这种解释的脚注，如下表所示的掷硬币试验。实验者掷币总次数出现正面次数频

5、率蒲丰404020480．5068皮尔逊1200060180．5016皮尔逊24000120120．5005表8-1作为频率意义上的概率尽管这种定义相当直观，并且在工程中广泛应用，但是怎样才算是所谓“大量”或者“稳定”呢？这类词汇是无法严谨定义的，因此这种概率定义不符合严格的数学表述规范。2)古典(classical)定义。概率的古典定义可以视为给定前提下的一个先验的推理体系。我们知道，在掷硬币的试验中：a)出现的结果将不止一个，但是所有可能发生的结果在事前都是可知的(非字即花只有两种可能)；b)在掷下去前，不知道哪一种结果会发生；c)可以重复的掷。有着类似特征的行为，被称为随机试验

6、(stochasticexperiment)。只要在加上一点，即每种结果发生的可能性都相等，它就构造出所谓“古典”的概率模型。古典概型可以明确的计算随机试验中获得某些结果的概率。例如掷一枚质地均匀的骰子，掷出奇数点的概率是1/6+1/6+1/6=1/2。但是古典概型的前提是很严格的，它要求试验结果发生的等概率性，这就限制了它的应用范围。3)公理化定义。这需要先引入一些基本概念。上述随机试验的每一个结果(outcome)，称为样本点(samplepoint)，记为ω；所有样本点的总和被称为样本空间Ω(samplespace)；称包含若干样本点的集合为事件(event)，每一个样本点又可

7、以称为基本事件(basicevent)。称空间Ω为必然事件(sureevent)，称不包含任何样本点的空集∅为不可能事件(impossibleevent)。定义8．1．1概率就是对于任一个事件A指定的一个数P(A)，它满足：a)P(A)≥0，即非负性；2b)∑P(A)=1，即规范性；1按照我们国家现有的教学体系，大多数理工科的读者对于密度函数、条件期望等初等概率论中的内容相当熟悉，但是考虑到后续课程是随机过程，则这些准备还远远不够。如何自然地向读者阐发滤波