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1、概率论引言1.确定性现象与不确定性现象（随机现象）：从其结果能否准确预言的角度区分2.随机现象的统计规律性随机现象的结果虽然无法预测，但并不是完全无规律可循。例如：在投掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但是假如硬币均匀，直观上出现正面与出现反面的机会应该相等；例如，在日常生活中常常听到“甲比乙优秀”，依据是什么呢？我们把这种随机现象在大量重复试验或观察中，其结果呈现出的某种规律性称为统计规律性。概率论其研究对象为：随机现象；研究内容为：随机现象的统计规律性。第一部分随
2、机变量和概率分布一、基本概念1.随机试验：对随机现象的一次观察或试验。2.样本空间：样本空间：由随机试验的一切可能的结果组成的一个集合例如：投一枚均匀硬币两次，观察出现正反面情况，则样本空间为｛（正，正），（正，反），（反，反），（反，正）｝；3．随机事件和概率样本空间的某个子集称为随机事件，简称事件。直观上：概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征。概率论的主要任务就是研究随机事件的规律，但在实际问题中碰到的随机事件往往比较复杂，为此在求解相关问题时，关键在于将较复杂的事件分解成较简单事件的“组合”。即可
3、用集合的一些术语、符号去描述事件之间的关系与运算。注1、事件间的关系1.包含关系：当事件A发生时必然导致事件B发生，则称A包含于B或B包含A，记为A⊂B或B⊃A。约定不可能事件Φ⊂A即A⊂B⇔{若ω∈A,则ω∈B},用图表示为：12.相等关系：若事件A的发生能导致B的发生，且B的发生也能导致A的发生，则称A与B相等。记为A＝B，即A与B有相同的样本点。显然有A＝B⇔A⊂B且B⊂A3.事件的互斥（互不相容）：若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记为AB＝Φ。显然有：Φ与任意事件互斥。注2、事件的运算（和、
4、差、积、逆运算）1.事件的和（并）：两个事件A、B中至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的并（或和），记为A∪B（或A＋B）。即A∪B＝｛ω
5、ω∈A或ω∈B｝2.事件的积（交）：两个事件A与B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积（或交）。记为A∩B（或AB）即A∩B={ω
6、ω∈A且ω∈B}。3.事件的差：事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差，记为A-B。即A−B⇔{ω∈A而ω∉B}。4.事件的逆（对立事件）：若事件A与事件B满足A∪B＝Φ且AB＝Φ，则称B为A的逆，记为B＝A。即A={
7、ω
8、ω∉A，ω∈Ω}互逆事件与互斥事件的区别：互逆必定互斥，互斥不一定互逆；互逆只在样本空间只有两个事件时存在，互斥还可在样本空间有多个事件时存在。4.随机变量a.在随机现象中，有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系。例如，（1）在产品检验抽样中出现的废品数；2（2）每天进入某超市的顾客人数；对于这类随机现象，其试验结果“自然地”对应一个实数显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值。b.有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。比如，在投硬币问题中，每次实验出现的结果
9、为正面或反面，可以通过指定数“1”若出现正面，“0”出现反面，（此时计算n次投掷中出现的正面就只须计算其中“1”出现的次数了）这就说明不管随机试验的结果是否具有数量的性质，我们都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系，我们将用实数来表示随机试验的各种结果，即建立对应关系X，使其对试验的每个结果ω，都有一个实数X(ω)与之对应，即对应关系X试验的结果ω实数X(ω)以后，我们将用实数来表示随机试验的各种结果，即引入随机变量的概念：定义：设随机试验E的样本空间为Ω={ω}，X=X(ω)是定义在Ω上的单值实函数，则
10、称X=X(ω)为随机变量（RandomVariable）。Ωω1ω2…R例如：一个地铁车站，每隔5分钟有一列地铁通过该站。一位乘客不知列车通过该站的时间，他在一个任意时刻到达该站，则他候车的时间X是一个随机变量，而且X的取值范围是[0，5]5.随机变量的分类有些随机变量仅取有限个或可列个，称这种随机变量为离散型随机变量；有些随机变量的可能取值充满某个区间，称这种随机变量为连续型随机变量二、概率分布对于随机变量来讲，我们不仅关心它取哪些值，更关心它以多大的概率取那些值。（一）离散型随机变量1.概率分布设离散型随
11、机变量X，其所有可能取值为x1,x2,…,xk,…,且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pk,…,则称P{X=x}=p,i=1,2,?，为X的概率分布或简称ii3为分布律。可用表格形式表示为：Xx1x2x3…xk…Pp1p2p3…pk…或者⎛x1,x2,?,xi,?⎞⎜⎟⎜⎟p,p,?,p,?⎝12i⎠2.分布列的性质：(1)非负性：p≥0i+∞(2)规范性：∑pi=1i=1注：任意一个满足以上二
