北京邮电大学通信原理ln7-20070410new

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1、04104-106通信原理II第七讲April10,20071Preliminaries1.1关关关于于于位位位置置置编编编号号号的的的约约约定定定位置编号是一个容易让初学者感到混乱的问题。编码器的输出是n个比特，比如(1000111)。对于不同的输入信息，编码结果也不同。为了分析研究，我们自然会想到用代数的方法，引入变量符号来记述这7个比特值，比如(u;v;w;a;b;c;x)。也可以用一个单字母符号配上不同的下标：(ba;bb;bu;bx;by;bw;bz)。用数字做下标当然更为便利，此时也

2、有许多标记方法，如：(b1;b2;¢¢¢;b7);(b6;b5;¢¢¢;b0);(b7;b6;¢¢¢;b1)等等。由于这些下标仅仅是一个label，所以写成(b3;b2;b1;b6;b4;b5;b0)也无不可。总之，如何对比特位置进行编号只是我们自己如何描述它的问题，与被研究的问题无关。任何人都可以按照自己的偏好来标记。不同的文献对此也没有共识。本课约定，在线性分组码中，默认的编号规则是从左到右对应位置编号从大到小，最右的那个比特编为0。这种规则也就是MSB(MostSigmi¯cantBit，

3、最高有效位)在左。如果你更习惯其他编号的话，也完全可以。不过在考试中，如果不使用默认编号的话，必须加以注明，以避免误解。实际当中，这n个比特发送的时间次序有可能是从左到右、从右到左或者其他。如果信道没有差异的话，任何次序都是无关紧要的。1.2GaloisField我们日常所用的加减乘除都是二元运算的一个特例，也即二元函数。对于集合•，如果任取两个元素a;b2•，将(a;b)对应到某个c2•，即c=f(a;b)，就是定义了一种二元运算。我们可以随意设计一个记号来标记这种运算，比如a¢b=c，也可以

4、给它起一个名字，比如叫“*法”。我们平常所用的算术中，1+2=3是把(1;2)对应给了3，+是我们为了标记这个二元运算所设计的符号，我们还将其名之为“加法”。实数以及加减乘除这些算术规则构成了我们非常熟悉的算术系统。对于任意集合•，同样也可以建立一个算术系统，只须定义出相应的二元运算规则即可。设有集合•，在这个范围内定义了oA，oB这样两种二元运算。不妨将其命名为“加法”和“乘法”，并分别使用记号+和£，约定a£b可以简写成ab。这样做不光是为了复用这些符号和术语（以降低记号成本），更因为我们所

5、熟悉的算术只是一个特例。对于集合•中的元素，可以采用任何一种自认为方便的方式来标记，比如a;b;¢¢¢。如果•是有限的，或者可数的，也可以用!i这样的方式来标记其元素，其中i是整数。当然也可以直接用整数来标记，即3这个符号代表•中的某一个元素，4则是另一个符号。如同用学号来标记学生。这里的3,4都只是些符1号，除非对运算、排序等进行了定义，否则它们不具有我们平常所说的“数”的意义。根据本课的需要，我们需要简要学习一种叫做域（¯eld）的数学系统，它有如下规则（其中的某些规则可以用其它规则导出）1

6、.存在唯一一个特定的元素a2•，使得对于任何b2•，有a+b=b。我们用“0”这个符号来标记这个特殊的元素。2.存在唯一一个特定的元素x2•，使得对于任何b2•，有x£b=b。我们用“1”这个符号来标记这个特殊的元素。3.对于任意的a2•，存在唯一一个元素b2•，使得a+b=0，称此b为a的负数。如果必要的话，我们用记号¡a来表示它。4.对于任意的a2•，存在唯一一个元素c2•，使得a+c=0，称此c为a的逆。如果必要的话，我们用记号a¡1来表示它。5.所定义的加法和乘法满足交换律：即对于a;b

7、2•，a+b=b+a，ab=ba；6.所定义的加法和乘法满足结合律：即对于a;b;c2•，(a+b)+c=a+(b+c)，(ab)c=a(bc)；7.所定义的乘法对加法有分布律：即对于a;b;c2•，(a+b)c=ac+bc；若•是实数R，那么我们日常使用的加减乘除四则运算构成了实数域。如果•只有有限个元素，即j•j=q<1，这样的域就是伽罗华域，记为GF(q)。对于GF(2)，•=0;1，加法定义为逻辑异或，乘法定义为逻辑与。1.3线线线性性性代代代数数数N长实数向量x=(x1;x2;¢¢¢;

8、xN)的每个元素都属于实数集合R。x属于实数的扩展域RN。两个向量的加法是逐元素相加。向量x2RN和标量®2R的乘积定义为x的每个元素乘以®：®x=(®x1;®x2;¢¢¢;®xN)。两个向量x1;x2的线性组合是®1x1+®2x2，其中®1;®22R。现在考虑n长的二进制向量b=bn¡1;bn¡2;¢¢¢;b0，其元素属于GF(2)，b属于扩展二元域GF(2n)。标量a2GF(2)和向量b2GF(2n)的积定义为b的每个元素都乘上a：若a=0,则ab=(0;0;¢¢¢;0)，若a=1，则ab=