古典风险模型下的绝对破产new

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1、万方数据第28卷第4期2005年10月应用数学学报ACTAMATHEMATICAEAPPLICATAESINICAVbl．28No．4Oct．．2005古典风险模型下的绝对破产+周明张春生(南开大学数学科学学院，天津300071)(E-mail：zhouming@nankai．edu．cn)摘要在古典绝对破产模型下盈余过程为是逐段决定马尔可夫过程．根据逐段决定马尔可夫过程具有马氏性和强马氏性，本文推导出了在古典风险模型下绝对破产概率的一个明确表达式．关键词破产；绝对破产；逐段决定；马氏性；强马氏性MR(2000)主题分类60J25

2、；90A46中图分类0211．62；0211．91引言在风险理论中，古典风险模型是最简单，研究的最深入的一种保险风险模型．在[1—4】中对绝对破产模型进行了讨论研究．最早在[2，3]两篇文章中，都是利用了逐段决定马尔可夫过程无穷小算子和鞅的关系(Dynkin定理)，通过构造合适的鞅来研究绝对破产问题．【3】给出了索赔额为指数分布情形下绝对破产概率的解析表达式．[2]对于更一般的风险模型给出了破产概率的Lapl&ce变换形式的表达式．[1】中先给出了一般索赔分布情形下绝对破产概率满足的一个方程，然后是用模拟的方法讨论一些问题，没有给

3、出破产概率的表达式．在这些结果的基础上，我们这里继续研究古典风险模型下绝对破产概率．本文回避了用无穷小算子构造鞅，而是利用盈余过程的马氏性和强马氏性，借助推移算子，给出了在一般索赔分布下绝对破产概率的一个明确表达式(见(18)式)．绝对破产模型是在古典风险模型的基础上，进一步假设当保险公司无力偿还索赔时，公司可以通过向银行贷款等融资手段，来弥补暂时的赤字，继续经营．对于古典风险模型，公司t时刻的盈余可表示为N(t)矿+(t)=札+ct一∑Xk七=I其中，u之0代表公司的初始准备金；c>0表示单位时间公司收取的保费；{Ⅳ(￡))。>

4、。是参数为A的poisson计数过程，N(t)表示[0，t]内发生的索赔次数；{凰)k≥l是一列独立同分布的非负随机变量，有共同分布F(z)，密度函数，(z)．均值为p．Xk表示第七本文2003年10月29日收到．+国家自然科学基金(10271062，10571092号)资助项目万方数据696应用数学报28卷次索赔的额度；{Ⅳ(￡))。>o与{Xk)％≥1独立．令s(t)=∑Xk，则{s(≠))t≥o是参数为一七=1(A，F)的复合Poisson过程，s(t)表示[0，t]内的累积索赔量．我们都知道，在古典风险模型下，如果公司有正

5、的安全负荷P(=旦：睾)>0，则u(t)_o。，当t一。。时．但是对于绝对破产模型情况就不是这样子的了．下面我们具体说明．设绝对破产模型下公司盈余过程为{矿(t)，t≥o}，银行贷款利率为∥>0，且假设公司的贷款是连续动态的．如果公司t时刻盈余u(t)<0，则这是公司需贷款lu(￡)I来弥补赤字继续经营．假设在(t，t+Atl内无索赔发生，则公司的盈余满足：u(t+盘)=u(t)+cat+u(￡)(e卢们一1)，其中u(t+At)是剩余赤字，u(t)是原赤字，cat是保费收入，u(￡)(ep埘一1)是利息支出．整理上式，令At_0

6、，得到：U咏)=c+3u(t)由(2)我们可以看出，当u(t)>一万C时，U≮)>0，公司盈余u(t)在没有索赔得情况下严格递增，还有可能恢复为正值．当uS一丢时，U≮)≤0，公司盈余u(t)递减，不会超过一去．这种情况，我们就定义保险公司为绝对破产，一去就是此模型下公司的绝对破产界。-至此我们就可以给出绝对破产下的盈余过程{V(￡)}．令死表示第i次索赔的时间，对任意的正≤8<互+1，有如果um)>0，如果u仍)<0，u(s)=u(死)+c(s一死)．(3)∞，=偿掣∥一s<一(4)s≥s+．这里s4～乃是方程(号+um))e彤

7、一cp=0的根，s+=正+专log(号)／(号+u呱)))．本文的第二部分给出了绝对破产模型下的一些基本定义．第三部分利用盈余过程是逐段决定的马尔可夫过程(PDMP)，导出了绝对破产概率的表达式．第四部分验证了指数索赔下绝对破产概率的表达式．2定义定义2．1对于盈余过程{u(t)，t≥o)，定义甲finf{t：u(t)T：u(t)=o)，”I。o，上集合

8、为空为盈余首次恢复为零的时间．定义2．2对于破产时间T，定义砂(饥)=P“(T<(20)为破产概率．万(u)=1一妒(乱)=P“口=(20)为生存概率．对于绝对破产时间Ta，定义砂A(饥)=P“(TA<。。)为绝对破产概率．可A(乱)=1一批(u)