系统工程概论 3 数学规划基础

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1、数学规划基础系统工程概论•运筹学是从系统总体角度寻求系统最优解的数学工具，它包括数学规划、图与网络、数学规划基础决策分析、排队论、库存论、对策论等。•数学规划线性规划，目标规划，整数规划，0-1规划辽宁工程技术大学2008-3-1120:432008-3-1120:433.1线性规划3.1.1线性规划基本概念(1)线性规划可以用以下数学形式表达，即求一研究一定数量的资源条件下，如何科学的组变量x1,x2,……,xn，在满足约束条件：运用这些资源，以获得最大效益，或者在a11x1+a12x2+L+a1nxn≤b1⎫⎪ax+ax+L+ax≤b一定技术条件下，寻求最优化

2、的设计。2112222nn2⎪⎪LL⎬即：在一定约束条件下，寻找目标函数的⎪ax+ax+L+ax≤bn11n22nnnn⎪极值问题。x,x,L,x≥0⎪12n⎭线性规划：约束条件为线性等式或线性不的情况下，使目标函数达到最大值（或最小值等式，且目标函数也是线性函数。f=cx+cx+L+cx1122nn线性规划在经济建设、企业管理、技术设计和生产实践方面都有成功的应用。2008-3-1120:432008-3-1120:43[例3.1]生产管理问题(1)[例3.1]生产管理问题(2)[例3.1](生产管理问题)某工厂生产A、B两种产品，其产量分别为x1、x2个单位，

3、每天的可用资源限制：原料：其数学模型表示为：1575kg；占地面积：1500m2；工时：7小时（420分钟）。资源分配及产值如下表所示：maxf(x)=13x1+11x2最大利润⎫占地面积名称符号及单位AB4x1+5x2≤1500⎪⎪am2/单位产量45占地面积s.t.5x1+3x2≤1575⎬原料资源1xx⎪消耗akg/单位产量53原料消耗x+2x≤420(1+2≤7)工时212⎪系数6030⎭a3单位/小时6030生产率x,x≥012产值系数c元/单位产量1311产量问：每天应生产多少x1、x2，使f(x)=c1x1+c2x2为最大2008-3-1120:43

4、2008-3-1120:431[例3.2]运输问题(1)[例3.2]运输问题(2)从两个仓库（发点）运送库存原棉到三个纺织厂这里用xij表示i仓库运送到j厂的原棉数量，于是总的运费f(x)为：（收点），两仓库的库存量、三个纺织厂的需求f(x)=2x+x+3x+2x+2x+4x111213212223量，以及每吨原棉从各仓库运到工厂的所需运费其目标定在上述条件下使f达到最小值。如表所示。足各厂需求x11+x21=40⎫运工输厂⎪单j工厂i价(x12+x22=15⎬元/###仓库吨i)123库存量x+x=25⎪库存量限制1331⎭1#213502#22430x11+x

5、12+x13≤50⎫⎬x+x+x≤30需求量（吨）401525212223⎭运送量非负问：在保证各个纺织厂的需求都得到满足的条件xij≥02008-3-11下，应采用哪一种运送原棉的方案使运费最少。20:432008-3-1120:43[例3.2]运输问题(3)线性规划问题如果目标函数是决策变量的线性函数，约束条件该问题可表达成：也是关于决策变量的线性等式或线性不等式，则minf(x)=2x+x+3x+2x+2x+4x相应的问题即成为线性规划问题。111213212223x11+x12+x13≤50⎫应用线性规划在解决国民经济建设中的投资、运x+x+x≤30⎪输、

6、调度、分配和工作技术设计等优化问题时，212223⎪⎪必须符合以下特征：s.t.x11+x21=40⎬运输问题一般描述：⎪mn¾所求问题的目标函数可以用最大值或最小值的形x+x=151222⎪minf=∑∑cxijij式来表达x+x=25⎪i==11j1331⎭n⎫¾为寻求达到最优目标，必须有多种方案可供选择x≥0ij∑x≤a,i=1,2,L,miji⎪(i=1,2,j=1,2,3)s.t.j=1⎪⎬¾寻求的目标必然有条件约束m∑xij≤bj,j=1,2,L,n⎪¾目标函数，约束条件都是线性方程式且决策变量⎪i=1⎭具有非负性。x≥0(i=1,2,3,L,m,j=

7、1,2,L,n)ij2008-3-1120:432008-3-1120:433.1.2几何图形特征与图解法3.1.2几何图形特征与图解法(2)设产品P1、P2的日产量分别为x1,x2kg，则约束条件可应用图解法求解线性规划问题表示为：9x1+4x2≤360⎫[例]某工厂生产规划条件如表所示：⎪4x1+5x2≤200⎬问在该条件下，工厂要使利润最高，产品的3x+10x≤300⎪12⎭生产量分别为多少？x≥0,x≥012需产要品P1(kg)P2(kg)原材料日使用限额(kg)总利润为f=7x1+12x2原量材料可以证明：线性规划问题M194360的所有可行解构成一个凸

8、M2452