一类非线性扩散问题及其在图像修复中的应用

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1、万方数据第38卷第1期2∞4年1月上海交通大学学报】oURN^LoFSHAN(jHAIjIAOTON(；UNⅣERS】flYVoI_38N(，l】un20n4文章编号：10062467(2004)ol—0153一04非线性扩散问题及其在图像修复中的应用丁雯(上海交通大学数学系，上海200240)摘要：通过夼绍传统非线性扩散方程在图像处理中的一般应用，；1入了一类舍间断系数的非线性扩散模型，并利用非线性系数正则化处理的方法及粘性解谊类模型中的研究结果，得到了该模型的适定性理论．给出的一些具体数值实验结果表明，该非线性扩散模型是图像修复问题的一种比较理想的方法．关键词：非线性扩散；间断系数}适定性

2、；图像修复中图分类号：()175．2文献标识码：AOneCIassofNon

3、．nearDiffusionEauationandltsApp

4、

5、catiOninImageInpaintingDINGwe”(Dept．ofMathematics，ShanghaiJiaoto“gUniv．，Shanghai200240，(：mna)Abstract：()ncclassofn。nlIneardlffusioneqLIati。nindealI“gwithdigitalim89einpaintingwasintr。duced．Ageneralmel}1。dindeali“gwilhthewell—pos

6、ednessofthein“ial_boundaryva】ueproblemforthiskin(iofnon【incarequationswasdlscussed．S。nlenume“calex雌rimentre吼lhs1nim89einpaill““gwer。given，whichshow111atthenonllneardiffusionmodelintroducedm仆Ilspaperissult曲lcinimag。i”painti“g．T11ispaperproposed。ncmethod1ninl89einpainti“gwi仙bothoftheore“calandpractica

7、lvalL1e．Keywords：nonlineardjf^lsionequati。ns；discontinuouscocfficknts；wellp。scdness；im89ei“painli“g图像修复是指对受到严重损坏的图像进行修复重建．图像损坏有很多种形式，有时一副完整的图像口J能由于磨损而散布着各类微小的损害；有时也可能由于保存不当使图像表层受到损害．在这些情况F，图像修复者就需要通过专业判断，采取最恰当的方法恢复图像的原始状态，同时保证图像达到最理想的艺术效果．现今图像修复已成为数字图像处理、视觉分析及电影制作业中非常重要的领域．图像修复处理方法有很多种，用偏微分方程(PDE)方法

8、处理是其中一个发展较快的新领域．最先将Pr)F方法引入图像修复问题的是Bcrtalmion等．他们利用三阶Pr)E模型进行图像修复．利用PDE处理图像修复问题的方法可以分为两大类：一类主要依赖图像微观修复机制的仿真系统，例如扩散过程、传输过程；另一类是变分模型．如全变著模型，基于ML-m．ford和shah图像分割基础上的等灰度模型等【“，为了恢复被损害的部分，需要分析原始图像及其所属类别．这些分析对于图像修复整个过程是非常重要的步骤之一．本文在Lions等”’”的基础上，采用PDE方法讨论图像的修复问题，提出了一类含非连续系数的非线性扩散模型．并通过适当的数值差分格式得到图像中各像素点的信息

9、．收稿日期：2002—1212作者简介：r雯(1卯7一)．女，L海人，硕上生，主要从事偏微分方程在数字图像扯理中的应用E⋯ldlngwen77@lmtmⅢI⋯万方数据上海交通大学学报第38卷1非线性扩散模型的导出高斯核与图像灰度函数卷积可用于图像的去噪，而热传导方程a“／af=△“，“I⋯一，(z)(1)的解恰为其初值J(，)与高斯函数的卷积．由此，可以利用PDE方法处理图像．然而，由于这样的模型具有各向同性性．因而原图易失真而不利于图像边缘的保存．为此，利用扩散算子处理，使得算子沿平行于边缘切向的方向的扩散程序强于沿边缘的垂直方向．考虑其极限情况，即算子仅沿边缘切向扩散，这样的扩散算子可以在

10、准确保留边缘的基础上，使边缘两侧的图像光滑．这种扩散算子具体形式可表达为碧一观div}-高j，乩；。一m)(2)1。ions等⋯进一步将式(2)改进为；；=川w圳)f乳div【—高)]“。一』(-r)}‘3’a“／on—oan上J式中；g为非递减函数；G为某种磨光核，如高斯函数；n为图像所在区域，Hn∈尺”．G一去cxp{(z2+y2)／4}“∽一订二_衙^为常数．2间断系数的处理由于模型(5)在