福建师范大学2008年实变函数与泛函分析考博试题解答

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1、《实变函数与泛函分析》参考答案与评分标准fx()−fy()一、（1）（15分）（a）由∀∈yHc(),x−y≥推出ffx()−cdxHc(,())≥（5分），（b）对∀<0ε

2、()

3、fzf−εfx()−c（c）由ε的任意性，令ε↓0，使得dxHc(,())≤（5f分）.（2）（5分）在3R中一般平面方程HD():Ax+ByCz+=D3(,,)xyz∈R，就正好是泛函fxyz(,,):=

4、Ax+ByCz+的超平面HD().（5分）.二、（1）（3分）从略.（2）（2分）从略.但为（3）的证明，最好先给一个推论：根据（3）的条件有δ:=dxM(,)1≥0*1（用到g∩B=∅），有f∈X使fM()≡0,()1fx=，和f=.0δ（3）（15分）定义超平面−1H(1)=f(1)就有g∈H(1)和H(1)∩B=∅.三、证法一.由开映射定理T是开映射，故对X中单位（开）球B(0,1)，存在δ>0，使TB(0,1)⊃δB(0,1)（10XXYδy分）.因而∀≠∈0yY,∈δB(0,1)，就有x∈B(0,1)，使Y0X2yδy2y

5、2=Tx，于是对x=x，满足Tx=y，且x≤y，002yδδ2取c=即可.（10分）.δ证法二（a）用开映射定理得RT()=Y（5分）；（b）由T连续，知NT()闭，于是X是Banach空间，且依商范NT()数定义，对每个[]x，可取x∈[],xx≤2[]x（5分）；00（c）定义T:X→Yx,[]→Tx，说明T是有界双射（5NT()分）；（d）对T用逆算子定理得：−1−1−1x≤2[]x=2TTx[]≤2TTx=2Ty.（5分）.0四、证法一（a）由所与条件定义算子列*T:X→lf,→((),(),fxfx,(),

6、0,0fx)，那么对每个f，n112n*supTfn≤∑fx()n<∞，且显然Tn∈BXl(,)1.（10分）；（b）n应用共鸣定理，存在c>0，使supT≤c（5分）；（c）故nn∞N对*∀∈fX，∑fx()n=lim∑fx()n=limTfN≤cf（.5分）.N→∞N→∞n=1n=1证法二（a）用所与条件直接定义*∞TX:→l:f→(())fx∈l，说明T线性（5分），（b）证1nn=11明T是闭算子，说明可用闭图象定理得证（15分）.五、（1）（5分）答略.（2）（5分）答略.（3）（5分）答略.（4）（5分）当{}e是无条

7、件基时，要能说出基本上n（1），（2），（3）结论都能成立（给3分）；还要求说明对一般Schauder基，情况大不相同，极为复杂的一面：例如取X为James空间J时，T虽可定义，但线性算子T2非有界.总之：本题作为压轴题，应参照所定分数段，从严判分.