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《高等数学(上)试题a卷答(09.01)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2008~2009学年秋季学期（2009.1）高等数学（A）试题参考答案一．填空题（本题共有5道小题，每小题3分，满分15分），请将合适的答案填在横线上．2x−11.设fx()=，则x=1为f()x的第一类间断点.(1xx−)1n2.lim(1−)=/1e.n→∞nGGGGGGGGGGG3.设向量aijbij=+=−+2,32k，则a与b的内积ab⋅=4.124.∫xx1−dx=0.−15.设fx()=arctanx，则f′(1)=1/4.二．单项选择题（本题共有5道小题，每小题3分，满分15分，请将所选答案填在括号内）．1.下列结论中，正确的是【C】．(A)有界数列必收敛；
2、(B)单调数列必收敛；(C)收敛数列必有界；(D)收敛数列必单调.2.当x→0时，下列四个无穷小中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量【C】．2(A)ln(1−x)(B)xxtan23x(C)2x(D)e−13.函数f()x在x处有导数的充要条件是【B】.0(A)f()x在x处连续;(B)f()x在x处可微分；00f()xxf+Δ−(xx−Δ)(C)lim00存在;(D)limf′()x存在．Δ→x0Δxxx→0第1页共4页4.设函数f()x在(,ab)内可导，且fx′()0<，则f()x在(,ab)内【B】．(A)单调增加；(B)单调减少；(C)是常数；(D)依条件不能确定
3、单调性.+∞15.反常积分dx的值为【D】．∫01+x2(A)1；(B)−1；ππ(C)−；(D).22三．计算下列各题（本题共有5道小题，每小题5分，满分25分）．21xcos1．limx；x→0sinx21xcosxx1解lim=⋅limlimcosx=0xx→→00sinxxsinx→0xsin2x−2sinx2．lim3x→0xsin2x−2sinx2cos2x−2cosx解lim=lim32x→0xx→03x−+4sin2x2sinx=lim=-4/3+1/3=-1x→06x13．dx∫3xx(1+)3311+−xx解dx=dx∫∫33xx(1++)xx(1)21x
4、13=−()dx=−++lnxln(1xC)∫3xx1+324．xxlogdx∫212211221222解xlogxdx=xlnxdx=lnxdx=−(lxn
5、xxdx)∫∫112ln22ln2∫12ln21∫13=−24ln2第2页共4页22⎧x=+1tdydy5．设⎨，求,.2⎩yt=cosdxdxdyddy⎛⎞dydt−sintdyddy2dtdx⎜⎟sintt−cost解==，==⎛⎞⎜⎟⎝⎠=dxdx2tdx23dxdx⎝⎠dx4tdtdtxy−43+z四．（本题满分10分）求过点P(3,1,2)−且通过直线l:==的平面方程．0521解l上的点M,4(−)0,3，
6、PM=,1(−)2,4，直线l的方向向量s=)1,2,5(.000ijk平面的法向量n=PM×s=1−42=−8i+9j+22k.00521由点法式得平面的方程为−(8x−)4+(9y+)3+22(z−)0=0.即8x−9y−22z−59=0.五．（本题满分10分）求曲线yx=ln在(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线xx==2,6和y=lnx所围图形的面积最小．11解设切点为(a,lna)，则切线为y−lna=(x−a)即y=x+lna−1aa61Sx=+∫(ln1ax−−ln)dx2a12616=+−xxaxxlnln
7、=+4lna−+6ln62ln2.22aadS1
8、64∵=−+=∴=0,a4，驻点惟一，2daaa1所以使所围面积最小的切线方程为：yx=+−2ln2141x六．（本题满分10分）设f()x在[0,1]上连续，且∫fxdx()=0，令F()xx=∫f()tdt.00（1）求F′()x；ξ（2）试证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得∫fxdx()+ξξf()0.=0x（1）解F′()xf=+∫()xdxxf()x0x（2）证因为F()xx=∫f()tdt在[0,1]上连续，且FF(0)=(1)，0ξ所以在(0,1)内至少存在一点ξ，使得∫fxdx()+ξξf()0.=0第3页共4页4七．（本题满分10分）讨论曲线yx=4ln
9、+k与y=+4lxxn的交点个数，其中(4k≤)．4y解设ϕ(x)=lnx−4lnx+4x−k，34-k4(lnx−1+x)则有ϕ′(x)=.x01x不难看出，x=1是ϕ(x)的驻点。当01时，ϕ′(x)>0，即ϕ(x)单调增加，故ϕ)1(=4−k为函数ϕ(x)的最小值。当k<4，即40−>k时，ϕ(x)=0无实根，即两条曲线无交点；当k=4，即40−=k时，ϕ(x)=0有唯一实根，即两条曲线只有一个交点。bbab+八．（本题满分5分）设f()x在[
