第2讲量子力学 波函数new

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1、量子力学光电子科学与工程学院王可嘉第二讲不确定度关系波函数及其统计诠释1第2讲目录一、不确定度关系（测不准原理）二、量子力学讨论的对象：波函数三、自由粒子的波函数四、一般粒子的波函数及其物理意义五、波函数的统计诠释及其性质六、动量分布概率七、再论不确定度关系2一、不确定度关系（1）在经典力学中，宏观粒子在任何时刻都有完全确定的位置、动量、能量等。然而，对于微观粒子，其波动性远远大于宏观粒子，以致于它的某些成对的物理量（如位置坐标和动量、时间和能量等）不可能同时具有确定的量值。这就叫不确定度关系或测不准原理。下面以电子单缝衍射为例讨论这个问题3一、不确定度关系（2）P

2、Pxx狭缝入射电子束照相底版电子可在缝宽x范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不确定量就是缝宽x，电子在x方向的动量不确定量:ppsin,由衍射公式:dxsinsin,xhsin/,xppx,又p,xhpp,xxphxxxx的偏差量xP和的偏差量p不能同时为零xx4一、不确定度关系（3）严格的理论给出的不确定性关系为：xpx2首先由海森堡给出(1927)yp海森堡不确定性关系y2Heinsenberg(海森堡测不准关系)（1901-1976）zpz2它的物理意义是

3、，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量x越小，动量的不确定量Ρx就越大，反之亦然。因此在某一时刻微观粒子的位置和动量不可能同时完全确定。轨道的概念已失去意义，经典力学规律也不再适用。----------微观粒子的“波粒二象性”的具体体现5二、量子力学讨论的对象：波函数（1）1、经典物理讨论对象：牛顿力学：质点（经典粒子）讨论对象：质点的坐标、动量、能量等2dr(t)dpF(r,t)m2vdtdtFmg6二、量子力学讨论的对象：波函数（2）电动力学：电磁场（经典波动）讨论对象：电磁场的波幅、波矢、能量等DB0

4、BEjmtDkHjtMaxwell方程组7二、量子力学讨论的对象：波函数（3）量子力学讨论的对象是什么？根据deBroglie的“波粒二象性”假设：一切实物粒子具有波粒二象性，即具有确定动量p和确定能量的实物粒子相当于频率为ν和波长为的波。满足deBroglie关系：hph/量子力学：引入一个物理量——波函数：(r,t)波函数(r,t)表征了粒子所具有的波粒二象性，完全描述了微观体系的状态。（量子力学基本假设之一）8三、自由粒子的波函数（1）平面波与傅里叶变换的回顾只考虑一维空间情况下，平面波为：Aexp

5、(ikx)任意函数f(x)均可用exp(ikx)展开：1ikx1ikxf(x)F(k)edkF(k)f(x)edx22F(k)为f(x)的Fourier变换特别地，若F(k)12，有1ikxf(x)edk(x)29三、自由粒子的波函数（2）自由粒子：指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量和动量p都是常量。根据deBroglie关系：可得与自由粒子对应的物质波的频率和波长为：/h和h/p波矢定义为：k2/所以看出自由粒子的频率和波矢均为常量。改写deBroglie关系为hh

6、pek2,h/210三、自由粒子的波函数（3）和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述Acos(krt)或Aexp[i(krt)]代入deBroglie关系得到：iAexp[(prEt)]k即：自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数。11三、自由粒子的波函数（4）总结：由于自由粒子的能量和动量为常量，根据deBroglie关系，其对应物质波的角频率和波矢也为常量，根据经典波动理论，角频率和波矢为常量的波为平面波，i即：自由粒子的波函数为平面波：A

7、exp[(prEt)]我和他怎么会是双胞胎呢！12四、一般粒子的波函数及其物理意义（1）当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，因此波函数无法用平面波表示。用一般函数来表示(r,t)问题是：该如何理解波函数所代表的物理意义呢？dp经典物理：质点动量的物理意义：Fdt电场强度的物理意义：FEq13四、一般粒子的波函数及其物理意义（2）波粒二象性一切实物粒子都具有波粒二象性！如何理解一个实物粒子具有波动性？历史上对粒子波动性的认识有两种误解：(1)波包说：认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中