量子力学第1章-波函数.ppt

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1、第一章波函数微观粒子具有波粒二象性，与经典理论不同，现在我们需要需要用一个波函数(r,t)来描述微观粒子的运动状态。我们需要首先解决下面两个问题：1：给定势能（相当于经典中给定作用在粒子上的力），如何得到这个波函数？2.这个波函数是怎样描写的粒子的状态的？（一）引进方程的基本考虑从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻t粒子的状态r和p。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1）经典情况1.1薛定谔（Schrodinger）方程（2）量子情况3．方程不能

2、包含状态参量，如p,E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。1．因为t=t0时刻，已知的初态是(r,t0)且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含ψ对时间的一阶导数。2．要满足态叠加原理，即，若1(r,t)和2(r,t)是方程的解，那末(r,t)=C11(r,t)+C22(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含、对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。（二）平面波的启发这不是所要寻找的方程，因为它包含状

3、态参量E。将Ψ对坐标二次微商，得：平面波为:应是所要建立的方程的解。将上式对t微商，得：满足上述构造方程的三个条件讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能动量关系式E=p2/2m写成如下方程形式：即得自由粒子运动方程（3）。(1)–(2)式，得然后，做算符替换：（三）势场V(r)中运动粒子的Schrödinger方程若粒子处于势场V(r)中运动，则能动量关系变为：将其作用于波函数做算符替换量子力学基本假定I：微观粒子体系的状态波函数满足Schrödinger方程在直角坐标系中，拉普拉斯算符为在球坐标系中，拉普拉斯算符为一维直角系

4、中的薛定谔方程为多粒子体系的Schrödinger方程设体系由N个粒子组成，质量分别为mi(i=1,2,...,N)体系波函数记为(r1,r2,...,rN;t)第i个粒子所受到的外场Ui(ri)粒子间的相互作用V(r1,r2,...,rN)则多粒子体系的Schrödinger方程可表示为：多粒子体系Hamilton量对有Z个电子的原子，电子间相互作用为Coulomb排斥作用：而原子核对第i个电子的Coulomb吸引能为：例如：波是由它所描写的粒子组成?为什么不是?实验事实:入射电子流强度大，很快显示衍射图样.入射电子流强度小，电子一个

5、一个发射，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示同样的衍射图样.我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波真是由它所描写的粒子所组成，则粒子流的衍射现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的。但事实证明，在粒子流衍射实验中衍射图样和入射粒子流强度无关。如果减小粒子流强度，同时延长实验的时间，是入射的粒子总数保持不变，则得到的衍射图样将完全相同。即使把粒子流强度减小到使粒子一个一个地被衍射，只要时间足够长，所得到的衍射图样也还是一样。这说明每一个粒子被衍射的现象与其他粒子无关，因此衍射图样不是由粒子之间的相互作用而产生的。电子源感光屏OP

6、PQQO波函数(x,t)是在空间的一个分布,这样一个波函数如何描述一个微观粒子的运动状态呢?1.2波函数的统计解释波函数的波恩统计解释波恩说，波函数ψ代表的是一种随机，一种概率，更准确地说，2代表了电子在某个地点出现的“概率”。电子本身不会像波那样扩展开去，但是它的出现概率则像一个波，严格地按照ψ的分布所展开。现在让我们来做一个思维实验，想象我们有一台仪器，它每次只发射出一个电子。这个电子穿过双缝，打到感光屏上，激发出一个小亮点。那么，对于这一个电子，我们可以说些什么呢？很明显，我们不能预言它组成类波的干涉条纹，因为一个电子只会留下

7、一个点而已。事实上，对于这个电子将会出现在屏幕上的什么地方，我们是一点头绪都没有的，多次重复我们的实验它有时出现在这里，有时出现在那里，完全不是一个确定的过程。不过，我们经过大量的观察，却可以发现，这个电子不是完全没有规律的：它在某些地方出现的可能性要大一些，在另一些地方则小一些。它出现频率高的地方，恰恰是波动所预言的干涉条纹的亮处，它出现频率低的地方则对应于暗处。现在我们可以理解为什么大量电子能组成干涉条纹了，因为虽然每一个电子的行为都是随机的，但这个随机分布的总的模式却是确定的，它就是一个干涉条纹的图案。这就像我们掷骰子，虽然每一个骰子

8、掷下去，它的结果都是完全随机的，从1到6都有可能，但如果你投掷大量的骰子到地下，然后数一数每个点的数量，你会发现1到6的结果差不多是平均的。关键是，单个电子总是以一个点的面貌出现