量子力学第1章-波函数

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1、第一章波函数微观粒子具有波粒二象性，与经典理论不同，现在我们需要需要用一个波函数(r,t)来描述微观粒子的运动状态。我们需要首先解决下面两个问题：1：给定势能（相当于经典中给定作用在粒子上的力），如何得到这个波函数？2.这个波函数是怎样描写的粒子的状态的？（一）引进方程的基本考虑从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻t粒子的状态r和p。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1）经典情况1.1薛定谔（Schrodinger）方程（2）量子情况3．方程不能包含状态参量，如p,E等，否则方程只能被粒子特

2、定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。1．因为t=t0时刻，已知的初态是(r,t0)且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含ψ对时间的一阶导数。2．要满足态叠加原理，即，若1(r,t)和2(r,t)是方程的解，那末(r,t)=C11(r,t)+C22(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含、对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。（二）平面波的启发这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量E。将Ψ对坐标二次微商，得：平面波为:应是所要建立的方程的解。将上式对t微商，得：满足

3、上述构造方程的三个条件讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能动量关系式E=p2/2m写成如下方程形式：即得自由粒子运动方程（3）。(1)–(2)式，得然后，做算符替换：（三）势场V(r)中运动粒子的Schrödinger方程若粒子处于势场V(r)中运动，则能动量关系变为：将其作用于波函数做算符替换量子力学基本假定I：微观粒子体系的状态波函数满足Schrödinger方程在直角坐标系中，拉普拉斯算符为在球坐标系中，拉普拉斯算符为一维直角系中的薛定谔方程为多粒子体系的Schrödinger方程设体系由N个粒子组成，质量分别为mi(i=1,2,...,N)体系波函数记为(r1

4、,r2,...,rN;t)第i个粒子所受到的外场Ui(ri)粒子间的相互作用V(r1,r2,...,rN)则多粒子体系的Schrödinger方程可表示为：多粒子体系Hamilton量对有Z个电子的原子，电子间相互作用为Coulomb排斥作用：而原子核对第i个电子的Coulomb吸引能为：例如：波是由它所描写的粒子组成?为什么不是?实验事实:入射电子流强度大，很快显示衍射图样.入射电子流强度小，电子一个一个发射，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示同样的衍射图样.我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波真是由它所描写的粒子所组成，则粒子流的衍射现象应当是由于组成波的这些粒子相互作

5、用而形成的。但事实证明，在粒子流衍射实验中衍射图样和入射粒子流强度无关。如果减小粒子流强度，同时延长实验的时间，是入射的粒子总数保持不变，则得到的衍射图样将完全相同。即使把粒子流强度减小到使粒子一个一个地被衍射，只要时间足够长，所得到的衍射图样也还是一样。这说明每一个粒子被衍射的现象与其他粒子无关，因此衍射图样不是由粒子之间的相互作用而产生的。电子源感光屏OPPQQO波函数(x,t)是在空间的一个分布,这样一个波函数如何描述一个微观粒子的运动状态呢?1.2波函数的统计解释波函数的波恩统计解释波恩说，波函数ψ代表的是一种随机，一种概率，更准确地说，2代表了电子在某个地点出现的“概

6、率”。电子本身不会像波那样扩展开去，但是它的出现概率则像一个波，严格地按照ψ的分布所展开。现在让我们来做一个思维实验，想象我们有一台仪器，它每次只发射出一个电子。这个电子穿过双缝，打到感光屏上，激发出一个小亮点。那么，对于这一个电子，我们可以说些什么呢？很明显，我们不能预言它组成类波的干涉条纹，因为一个电子只会留下一个点而已。事实上，对于这个电子将会出现在屏幕上的什么地方，我们是一点头绪都没有的，多次重复我们的实验它有时出现在这里，有时出现在那里，完全不是一个确定的过程。不过，我们经过大量的观察，却可以发现，这个电子不是完全没有规律的：它在某些地方出现的可能性要大一些，在另一些地方则小

7、一些。它出现频率高的地方，恰恰是波动所预言的干涉条纹的亮处，它出现频率低的地方则对应于暗处。现在我们可以理解为什么大量电子能组成干涉条纹了，因为虽然每一个电子的行为都是随机的，但这个随机分布的总的模式却是确定的，它就是一个干涉条纹的图案。这就像我们掷骰子，虽然每一个骰子掷下去，它的结果都是完全随机的，从1到6都有可能，但如果你投掷大量的骰子到地下，然后数一数每个点的数量，你会发现1到6的结果差不多是平均的。关键是，单个电子总是以一个点的面貌出现