4通信网理论-排队论基础2

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1、通信网理论（三）排队论与通信网业务分析排队论基础纪阳北京邮电大学移动生活与新媒体实验室E-mail:jiyang@bupt.edu.cnM/M/m(n)问题°通信中常见模型1.混合排队2.分别排队M/M/m(n)排队模型——混合排队模型¾m个窗口，每个窗口的服务率为µ¾总到达率为λ；截止队长为n¾窗口未占满，顾客到达后立即接受服务；¾窗口占满时，1.顾客等待，先到先服务2.当队长达到n时，新来的顾客被拒绝而离去2°稳态方程：kp=00−+=λμp010(

2、()0mpμ=kk−+11kkn=−λμpmp=0nn−1n归一：∑pi=103解的通式λ/mλ令：＝ρρ==可得pmp10μμmk()mρ可得通解pp=k0k!−1m−1rmn−+m1⎡()()1mpmp−ρ⎤p0=+⎢∑⋅⎥⎣r=0rm!!1−ρ⎦mmn拒绝概率（knp==）:ρpn0n!可见：ρ↑→拒，当↑knp>时，=0k∴永远稳定，以拒绝换稳定4M/M/m(n)的平均等待时间w⎧knw=0k=m+1等2n−1Μ1所以：wk=−∑(1m+)⋅⋅pk

3、对k等k-m+1人km=mμn−1mkmm−+1k=⋅∑ρ⋅p0(令r=k-m+1)km=mmμ!nm−mrmkm+−1=⋅∑ρ⋅p0r=1mmμ!5mnm−m1mr−1=⋅⋅prρρ∑0mm!μr−1mnm−md1mr⎛⎞=⋅⋅p0ρρ⎜⎟∑mm!μρ⎝⎠dr−1mn−+m1md1m⎛⎞ρρ−=⋅⋅pρ⎜⎟0mm!1μρρd⎝⎠−mn−mn−+m1mn11m−−+(1m)(ρρ+−nm)=⋅⋅pρ02mm!μ()1−ρ6M/M/m(n)的几种特例1）当n=m.为多窗口即时拒绝系统−1mrmmrmmmr⎡mr⎤拒绝概率：ppm==ρρ∑∑0

4、⎢ρ⎥mr!!rr==00⎣r!⎦mλam/!令aa===，即mρ，得p——厄朗公式mmrμa∑r=0r!a—呼叫量等待时延w=07M/M/m(n)的几种特例2）当n→∞,为非拒绝系统,M/M/m问题当nM→∞，为非拒绝系统数学的//Mm问题拒绝概率p=0cm−1mm1平均等待数：wp⋅=μρ⋅02m!(1−ρ)−1m−1rm⎡()()mmρρ⎤其中，p0=+⎢∑⎥⎣r=0rm!!(1−ρ)⎦再令mM=1/，为M/1−−11⎡⎤ρ⎡1⎤p=+⎢⎥11=⎢⎥=−ρ0⎣⎦11−−ρρ⎣⎦8M/M/m(n)的几种特例3）当m=1,为单窗口，M/M

5、/1(n)−1n⎡⎤11−−ρρp=+⎢⎥1ρ=0n+1⎣⎦11−−ρρnpp=ρn0nn−1ρ1(−+nnρρ−1)wμ=⋅n+111−−ρρ9M/M/m(n)的几种特例4）当m=1,n→∞为M/M/1kpp=−1(ρρ=−1)ρ0kρρ1kw==⋅11−−ρρμ2ρσ=()k的方差，二阶中心矩k2(1−ρ)2ρσ=()w的方差w(1−ρ)210M/M/m(n)系统效率:η¾效率即指平均窗口占用率(统计平均)¾窗口不满占用率k/m¾窗口满(k>=m)占用率=1mn−1k则η=⋅∑∑ppkk+kk==1mm代入可整理出的表达式pηkλ当np

6、→∞，不拒绝多窗口ηρ==(1≠−)0mμ单窗口ηρ==1－p0ap(1−)当nm==，即时拒绝m()a=λ=mηρmμ11n1−ρ当mMMn==1,//1()ηρ⋅=1−pn+101−ρ不拒绝型系统可以取ρ<1当ρη=→11时wp∞，=，＝0系统不稳定n拒绝型系统可以取ρ>1仍能稳定工作,以拒绝概率(呼损)为代价ρ一定,增加截止队长(n)可提高效率,但等待时间亦长——延迟换效率所以，若延迟指标允许，用非即时拒绝型是合理的12一般排队问题非MM//⋅，限于某些假设−λtM//1Ga问题：到达()t=λe服务bt()任意13两种情况：（）去时

7、，1CC未到nn+1（）去时，2CC已经到nn+1kn—第顾客离去时，系统内顾客数nvn—第顾客服务期间，到达数n则与有vknnkkk>=01+v−nn++11nnCC去时人数＝去时人数＋C服务期到达数－1nn+1n+1kk==0，有vnn++11nCC去时人数＝服务期到达数nn++1114一顾客被服务期内到达人的概率为vv∞()λτ−λτqe=⋅b()ττdv∫0v!条件概率为：Pk（）==jk

8、0=qnnj+1Pk(

9、)==jki=qnnj+−11i+n令dC表示去时观察系统队长为的概率，则：kknndP＝⎡⎤⎣⎦第人服务完毕观察有人n

10、kknnn+1⎧dd=+qdq00010⎪nnnn+1⎪ddqdqdq10=++11120则有：⎨⎪LL⎪ddnnn+1=++qdqdnq++dqn⎩kk01kk−−1221Lk