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1、..第三章函数逼近..§1基本概念..一、函数逼近与函数空间在数值计算中经常要计算函数值。1.当函数只在有限个点集给定函数值，要在包含该点集的区间用公式给出表达式；2.用简单函数逼近复杂函数。............................................................数值逼近数值分析1/88函数逼近：对函数类A中给定的函数f(x)，记作f(x)∈A，要求在另一类简单的函数类B中求函数p(x)∈B，使得p(x)和f(x)的误差在某种度量下最小。通常函数类A是区间上的连续函数，记作
2、C[a,b]，而函数类B通常是n次多项式，有理函数，分段低次多项式等。............................................................数值逼近数值分析2/88常见的几种函数空间：C[a,b]：连续函数空间；Cp[a,b]：具有p阶连续导数的函数空间；Hn：次数不超过n的多项式空间。此外，分段线性插值、分段三次Hermite插值、三次样条插值等。............................................................数值
3、逼近数值分析3/88上述空间有加法运算，与数的乘法运算，且运算封闭。这样的空间统称为线性空间。常用线性空间有Rn、C[a,b]等。............................................................数值逼近数值分析4/88上述空间有加法运算，与数的乘法运算，且运算封闭。这样的空间统称为线性空间。常用线性空间有Rn、C[a,b]等。讨论多项式逼近，就是改进Hn的基：拉格朗日插值基函数牛顿插值基函数......................................
4、......................数值逼近数值分析4/88..二、范数与赋范线性空间定义：设S=Rn或C[a,b]，x∈S，若存在唯一实数∥x∥，满足条件（1）∥x∥≥0，当且仅当x=0时，∥x∥=0；（2）∥ax∥=
5、a
6、∥x∥,a∈R；（3）∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。............................................................数值逼近数值分析5/88则称∥∥为S上的范数，S与∥∥一起成为赋范线性空间。Rn上三种常用范数∥x∥∞=max{
7、xi
8、}
9、；∥x∥1=
10、x1
11、+···+
12、xn
13、；∥x∥=(
14、x
15、2+···+
16、x
17、2)1/2。21n............................................................数值逼近数值分析6/88C[a,b]上三种常用范数∥f∥∞=max{
18、f(x)
19、}；∫b∥f∥1=
20、f(x)
21、dx；a∫∥f∥=(b
22、f(x)
23、2dx)1/2。2a............................................................数值逼近数值分析7/88..三
24、、内积与内积空间定义：设S=Rn或C[a,b]，x∈S，对∀u,v∈S，有R中一个数与之对应，记为(u,v)，它满足以下条件（1）(u,v)=(v,u)，∀u,v∈S；（2）(au,v)=a(u,v)，∀a∈R,u,v∈S；（3）(u+v,w)=(u,w)+(v,w)，∀u,v,w∈S；............................................................数值逼近数值分析8/88（4）(u,u)≥0，当且仅当u=0时，(u,u)=0。则称(u,v)为S上u与v的内积。S与
25、内积一起称为内积空间。如果(u,v)=0，则称u与v正交，这是向量相互垂直概念的推广。............................................................数值逼近数值分析9/88例：R2，x=(x,x)，y=(y,y)，则其1212内积定义为(x,y)=x1y1+x2y2。欧氏平面几何：长度，角度，余弦定理···等。例：R3，x=(x,x,x)，y=(y,y,y)，123123内积为(x,y)=x1y1+x2y2+x3y3。欧氏平面几何：长度，角度，余弦定理···等。.
26、...........................................................数值逼近数值分析10/88设S是一个内积空间，u1,...,un∈S，矩阵(u1,u1)(u2,u1)···(un,u1)(u1,u2)(u2,u2)···(un,u2)G=..
