数值分析(研究生)第三章数值积分与数值微分二.ppt

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1、第三章数值积分与数值微分（二）第五节Romberg求积算法第六节Gauss求积公式第七节数值微分一、梯形公式的递推公式及事后估计法上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的．实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半(即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止．设将求积区间[a，b]分成n等分，则一共有n+1个分点，按梯形公式计算积分值Tn，需要提供n+1个函数值．如果将求

2、积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考察．§5龙贝格求积公式注意到每个子区间[xk，xk+1]经过二分只增加了一个分点xk+1/2＝(xk+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为二、龙贝格算法根据复化梯形公式的余项表达式可见，利用两种步长计算的结果能估计截断误差.这种利用计算结果估计误差的方法称为事后估计法.若将该截断误差加到计算结果中，就可得出“改进梯形求积公式”：改进梯形求积公式的右边实际是这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n的线性组合的结果得到复化辛普森法求积公式类似的情况，用辛普森法二分前

3、后的两个积分值Sn与S2n的线性组合的结果可得到复化柯特斯求积公式重复同样的手续，用柯特斯法二分前后的两个积分值Cn与C2n的线性组合的结果可得到龙贝格(Romberg)求积公式我们在变步长的过程中运用加速公式(5.1)、(5.2)、(5.3)，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn.龙贝格求积算法可用下表来表示：例2用龙贝格方法计算椭圆x2/4+y2＝l的周长，使结果具有五位有效数字．分析为便于计算，先将椭圆方程采用参数形式表示，再根据弧长公式将椭圆周长用积分形式表示．由于计算结果要求具有五位有效数字，因此需要估计所求

4、积分值有几位整数，从而确定所求积分值的绝对误差限．最后再应用龙贝格方法计算积分．解令x＝2cosq，y＝sinq则椭圆的周长为三、理查森(Richardson)外推加速法上面讨论说明由梯形公式出发，将区间[a，b]逐次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可继续下去，其理论依据是梯形公式的余项展开，即若记Tn=T(h)，当区间[a，b]分为2n等分时，有，则可见I=T(h)的误差为O(h2)阶.若记，则显然T1(h)与积分值I近似的阶为O(h4).这样构造的就是辛普森公式序列Sn，S2n，….若令，则又可进一步从余项中消去h4项，这样构造出的，其实就是柯特斯公式

5、序列，它与积分值I的逼近阶为O(h6).如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶，一般地，若记T0(h)=T(h)，经过m(m=1，2，…)次加速后，则有可以证明，如果f(x)充分光滑，那么T数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值I，即机械求积公式含有2n+2个待定参数xk、Ak(k＝0，1，…，n)．当xk为等距节点时得到的插值求积公式的代数精度至少为n次，如果适当选取xk(k＝0，1，…，n)，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式.为使问题更具一般性，我们研究带权积分，这里r(x)为权函数，类似机械

6、求积公式，它的求积公式为Ak(k＝0，1，…，n)为不依赖于f(x)的求积系数，xk(k＝0，1，…，n)为求积节点，可适当选取xk及Ak(k＝0，1，…，n)使求积公式(6.1)具有2n+1次代数精度．§6高斯求积公式一、高斯点定义4如果求积公式(6.1)具有2n+1次代数精度，则称其节点xk(k＝0，1，…，n)为高斯点，相应公式(6.1)称为高斯求积公式.根据定义要使(6.1)具有2n+1次代数精度，只要取f(x)＝xm，对m＝0，1，…，2n+1，(6.1)精确成立，则得当给定权函数r(x)，求出右端积分，则可由(6.2)解得Ak及xk(k＝0，1，…，n

7、)．求解非线性方程组(6.2)较复杂，通常n≥2就很难求解．故一般不通过解方程(6.2)求xk及Ak(k＝0，1，…，n)，而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式．定理5插值型求积公式(6.1)的节点a≤x0＜xl＜…＜xn≤b是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式与任何次数不超过n的多项式P(x)带权r(x)正交，即定理表明在[a，b]上带权r(x)的n+1次正交多项式的零点就是求积公式(6.1)的高斯点，有了求积节点xk(k＝0，l，…，n)，再利用(6.2)对m＝0，l，…，n成立，则得到一组关于求积系数A0，A1，…，An的线性方程．解此方程则得

8、Ak(k＝