数值分析第三章学习小结

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1、第3章矩阵特征值与特征向量的计算学习小结一、本章学体会通过本章的学习，我知道了求矩阵的特征值和特征向量的问题是代数计算的重要课题，在这-章，我了解到了直接计算矩阵的特征值和特征向量的MATLAB程序、间接计算矩阵的特征值和特征向量的幂法、反幂法、Jacobi方法、QR方法及MATLAB计算程序。我了解到自己对数伉分析及MATLAB的掌握还很肤浅，了解到了自己的不足，同时意识到自己知识点薄弱的地方，还有对知识的理解有偏差。宥的知识点理解的不透彻，自己可以动手做题，但编程实现还需要一定的编程语言知识以及数学知识和机器语言之间的转换。四种方法各有其特点和适用范围。幂法主要用

2、于计算矩阵按模最大的特征位及其相应的特征向量；反幂法主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量；TWi方法用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；私方法则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。归结起来，这四种方法亦有其共同点，那就是都是用了迭代的方法来求矩阵的特征值和特征向量。此外，用鵬m自带的解法求解特征值和特征向量也非常快速，而且不用编辑函数建立I文件。二、本章知识梳理本章对于矩阵的特征值和特征向量的算法提出了新的思路，如幂法和反幂法、Jacobi、QR方法等。本章的小结主要从方法的思想，以及一些定理展开。以下是各

3、种方法的运用范围1、幂法：主要用于计算矩阵按模最大的特征值和其相应的特征向量;2、反幂法：主要计算矩阵按模最小的特征值以及其相应的特征向量;3、Jacobi方法:用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；4、QR方法：适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。3.1幂法与反幕法一、乘幂法1、基本思想Uk=^Uk-==(y-)AXj]i=22、一般算法1)任意给定初始向量〃2)对于k=l，2，…yk-l=KiUk=Ayk-'3）如果

4、卜Uk-jn3、三种迭代公式（1）使用范数

5、卜

6、

7、2（2）使用范数hl(3)max(wj表不的

8、绝对值最大的分量。二、反幂法(逆迭代)对人1用乘幂法计算A-1的按模最大的特征值与相应的特征向量称为反幂法。三、带原点位移的反幂法依据：AX=AX^(A-PI)X=(A-p)X设//»2、JZL0<

9、A、一w

10、<

11、人-w,1

12、3.2Jacobi方法一、Jacobi方法的基本思想迭代公式：Bq=At>1,2,3,…{Bk=PjBk_'Pk二、经典Jacobi方法的计算步骤氏二(6^)1、在吹的非对角元找按模最大的元素2、求正交矩阵Pk使<+

13、)=<+

14、)=0^k+=巧+/氏巧+i3、控制迭代终止的条件4、计算正交阵三、平面旋转变换1、初等旋转阵（Gkens矩阵）2、初等旋转阵的性质（1）左乘向量y=（2）与矩阵相乘左乘:4右乘:々=左右乘:A,=Up（｛TAUpq四、经典Jacobi方法/?0=/R^=Rk-'u眺，々二1，2,…，2VRn=u实用Jacobi方法1、按行循环消元2、变容

15、限循环消元法3.3QR方法矩阵的QR分解QR方法是求一般矩阵的全部特征值和特征向量的一种迭代法。A=QRQ——正交矩阵R——上三角矩阵1、Householder姐阵（镜面反射阵）H=I-2vvTAvTv=l）Ht=H,HH1=1H为对称正交矩阵设有非零向量和单位向量ee/T，必存在Householder矩阵H，使得其屮a是实数，并且。叫、本章思考题问：Jacobi法有什么性质？答：1、Jacobi法是收敛的。2、当A的阶数n不太高时，算法的收敛速度很快；但当A的阶数n变得较大吋，其收敛速度将会变慢，即Jacobi法适合计算中等规模的实对称矩阵的特征值问题。3、对中等规

16、模问题，具有较好的数值稳定性，求得的结果的精度也很高，得到的特征向量正交性很好。4、不足之处：运算量人，不能保持矩阵的特殊形状（如稀疏性）。五、本章测验题'2-10"题：02-1，用反幂法求矩阵A接近2.93的特征值，并求相0-12应的特征向量，取，=（0,0,1/解：对A-2.93I作三角分解得■-0.93-10"100"■-0.93-10_A-2.93/=0-0,93-1=0100-0.93-10-1-0,9301/0,93100-0.93+1/0.93按算法迭代3次，A-3.0000954,与准确值3的误差小于10u-(1,-0.9992431