数值分析(颜庆津)第三章学习小结

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1、第三章矩阵特征值与特征向量的计算学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我们学到了四种矩阵特征值和特征叫量的计算方法，分别是幕法、反幂法、Jacobi方法和QR方法。四种?y法各存其特点和适用范闹。幂法主要用于计算矩阵按模最人的特征值及艽相成的特征向量；反幂法主要川于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量；Jacobi方法川于求实对称矩阵的全部特征值和特征向鲎的方法；QR方法则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实斯阵的企部特征值。归结起来,这四种方法亦有其井M点，那就是都是川了迭代的方法來求矩阵的特征

2、值和特征向3。此外，用MATLAB£1带的解法求解特征位和特征14量也非常快速，而且不用编辑函数建立m文件。其A带函数Eig功能强大，即便得到结果是虚数也可以算岀，并且结果ft动正交化。二、本章知识梳理木章对于矩阵的特征值和特征向M的算法提出了新的思路，如¥法和反祕法、Jacobi,QR方法等。本章的小结主耍从方法的思想，以及一些定理展开。2.1各种方法的运用范围1、幂法：主要用于计算矩阵按模最人的特征值和K相极的特征肉景；2、反幂法：主要计算矩阵按模最小的特征值以及其相应的特征向量；3、Jacobi方法:用于求实对称矩阵的

3、全部特征值和特征向M的方法；4、QR方法：适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。2.2各种方法的基本思想以及迭代公式1.幂法幕法的基本思想：设nxn实矩阵A具有n个线性无关的特征向量&，x2，....，',其相应的特征值心人，..人，满足不等式

4、^

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10、4

11、,其中Ax,•=4,“=1，2,3…，本任取一n维非零向量u0,从uo出发，按照如下的递推公式uk=Auk=i（k=1,2...）因n维向M组戋，义2，....，'线性无关，故对向Mno必存在唯一的不全为0的数组

12、aha2,…，an，使得w。=a}x}+a2x2+…+么uk=Amh••=A2u^2—••••―iAWq―a}Akx}--a2Akx2anAkxH=6Z,A/x,+<72A2AX2+…+=^k[ax+ai（—r）x2十…+““〒^"]设a,#），由上式可以看出，当k充分大时冇~得迭代公式：〜（1）从实际屮来看，为了避免迭代h'dS:uk的模过人，（当

13、AJ〉1）或过小（当

14、人

15、<1）,通常对ukj进行归一化，使其范数等于1。幂法的迭代公式：（1）川

16、卜

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18、2范数來归一，并且令凡=）人-1〜任取非零向量％e尺"7々-1

19、二如丁（k-l、U（k_”>7-1=WA-lM-luk=Ayk-xPk-yT/i-]Uk（k=l，2，..）T（2）用

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23、范数來归一，并且令：Pk=^^~°°G八-！r任取非零向量％=（丸⑼，么⑼，...，^(0)x7=maxl7-1=Uk-(々-i)uk=Ayk~=W)，"A,A=sgn(Ar_)hr(k=l，2，...)上述两种迭代终止控制用

24、从-/L,

25、/从

26、代一次都要判断t一个哪一个分景的模最人，因而吋叫长，似在运算的摄入误差中影响比（1）迭代格式影响小。1.反幕法反¥法的®木思想：反幂法的基木思想与幂法基木相同，一个是利用模最人的特征值，一个是利用模最小的特征值。设nxn实矩阵A具奋n个线性无关的特征向景X,，X2，....，X„，其相应的特征值H..A，满足不等式

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32、,其中Ar,.=4,（'•=1，2,3...，"）。得：A~{xi=—xi（/=1,2,...,n）此吋，是矩阵/T1的按模最人的特征值，我们就将问题转化为了幂法的思想。反¥法的

33、迭代公式<任取非零向量％e/rPk~yTk-^uk<(k=l，2，")2.3Jacobi方法1Jacobi方法的基本思想:任一实对称矩阵正交相似于对角阵。Jacobi用适当选取的平而旋转变换将给定的实对称矩阵逐少化为对角阵。2.求实对称矩阵A的特征位与相应的特征句景是一个迭代过程，其迭代步骤为：(1)在A的非对角线元素中，找出按模蛣大的元素6^9;a—a(2)由cot20=■计算cot2《，比由此计算出sin珍,cos《以及相应的平面旋转矩la叫阵；(3)计算出矩阵八,的元素％(4)^rmaxa..(I)<£,则停止运算，所

34、求特征值为為=%⑴(/=l,2,...，n)，则令A=APi