概率论与数理统计简明讲义 方积乾

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1、概率论与数理统计简明讲义数理统计基础第五章数理统计基础知识统计方法可分为统计描述与统计推断。统计描述历史悠久，主要是用少量关键参数刻划总体分布特征。而统计推断发展于上个世纪，相对年轻；它利用观测数据来支持统计假设。下面简要介绍两者的基本概念。一、总体与样本在问题2.13中，我们学会了可用一个连续型随机变量X及其密度函数p(x)去描述2005年全国19000000新生婴儿的体重。如果完全知道密度函数p(x)，就可以计算一个婴儿的体重在某个范围的概率以及全国新生婴儿的平均体重和体重的标准差等数字特征，从而更清楚的了解全国新生婴儿的整体状况。但问题是如何求得体重X的密度

2、p(x)呢？一般地，在概率论中，随机变量X的分布通常是假定已知的，概率问题大都是由已知的分布去求概率或数字特征等。但实际中怎样才能知道随机变量X的分布呢？推断描述随机现象的随机变量的分布，正是数理统计要解决的首要问题。为此，我们从所要研究的对象全体中抽取部分进行观测（即抽样调查）以取得信息，进而对整体作出推断。比如，为了掌握2005年全国19000000新生婴儿的体重的分布，必须先对新生婴儿的体重进行抽样调查。虽然理论上可以进行全面调查，但是实际困难重重，既会耗费大量的人力、物力、财力，也往往由于工作量过大、时间过长等原因影响数据的质量。一项经过科学设计并严格实施

3、的抽样调查结果可能比全面调查更可靠。另一方面，在许多情况下，全面调查根本不可为。例如，对电视机的寿命进行观测，由于是破坏性试验而只能采取抽样调查。在数理统计学中把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的各个单元称为个体。实际问题关心的往往是总体某方面的数量特征，它是一个随机变量。所以统计学认为，总体就是一个随机变量X，它的分布F(x)称为总体分布。数理统计的基本问题就是推断总体的分布。从总体X中抽取部分个体，称为抽样，即是对X进行若干次观测，得到的就是n个随机变量X,L,X，称为样本，其中n为样本容量，样本中的个体称为样品。1n为使样本具有充分的代表性，常进行简单随

4、机抽样，即要求：（1）样本有随机性：总体中每个个体入选的机会相等，即每个样品X与总体X同分布；i（2）样本有独立性：每次抽样的结果不影响其它各次抽样的结果，即X,L,X相互独立。1n简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本。从总体中进行有放回抽样，显然是简单随机抽样，得到简单随机样本。从有限总体中进行不放回抽样，虽然不是简单随机抽样，但当n总体容量N很大而样本容量n较小(≤10%)时，可近似看作有放回抽样，从而得到近似的N简单随机样本。除特别声明，以后提到的抽样与样本，均是指简单随机抽样与简单随机样本。日常生活中也常用抽样调查。要评估一锅汤的味道，没必要把一锅汤喝完

5、；只需将汤搅拌均匀，从中品尝一勺就好。这个例子揭示了抽样方法最重要的信息：第一，“把汤搅拌均匀”说明抽样的随机性。没有随机性，样本就不能很好地反映总体的情况；把刚加盐的地方舀的汤作为样本，就会推出汤太咸的错误结论；第二，“品尝一勺”意味样本容量不能太小，也不必太大；少无以知味，多只是浪费；第三，“无论这锅汤多寡，一勺足矣！”指出：总体容量增大时，样本量不必随之增大。数学上来说，样本X,L,X相互独立，且与总体X同分布，故其联合分布函数是1nnF(x1,L,xn)=∏F(xk)。k=1然而，总体分布函数F(x)未知，数理统计的首要问题就是利用样本推断总体的分布。假设

6、从总体X中抽取容量为n的样本X,L,X，得到n个样本观测值x,L,x。现在该1n1n如何估计总体分布函数F(x)呢？直观上看，我们对总体X进行n次观测，得到n个观测值x,L,x，因此可想象存在1n这样一个离散型随机变量，它只取x,L,x这n个值，并且概率相等。令x是x,L,x中1n(k)1n第k个小的数（1≤k≤n），则这个离散型随机变量的分布函数为：概率论与数理统计简明讲义数理统计基础⎧,0x

7、函数F(x)可作为总体分布函数F(x)的良好近似。这就是可以用样本来推断总体的理论依据。n定理3.1：（1）对于任意的x和ε>0，有limP(

8、F(x)−F(x

9、)<ε)=1；nn→+∞（2）P(limsup

10、F(x)−F(x

11、)=)0=1。nn→+∞−∞

12、无须知道总