5、
6、X∞而期望运算本质上是积分运算，故二阶矩存在这一概念与普通微积分的平方可积概念相对应．(2)显然，（实值）随机变量是复值随机变量的特例，因而H中也包含了二阶矩存在的所有（实值）随机变量．(3)H中的元在几乎处处相等的意义下是相同的，即若X,Y∈H，且P{X=Y}=1，则称X=Y．在本章以后的讨论中都按此注释理解．对H中的元定义通常意义下的加法运算，再定义H中的元与复数域C（相应地，实数域R）中的元的数乘运算，容易验证H对这两种运算封闭．事实上，若X,Y∈H，由Cauchy-Schwarz不等式222[]EXY
7、
8、≤EXEY
9、
10、
11、
12、,<
13、∞则222EXY
14、
15、
16、+≤EX
17、+2EXYEY
18、
19、+
20、
21、,<∞即+XY∈H。222若X∈∈HH，αCR（相应地，），则E
22、
23、
24、
25、
26、
27、αX=αEX<∞∈，即αX。此外，H显然还满足以下条件：若XYZ,,∈H，αβ,∈CR(相应地，)，则XYYX+=+,⎫⎪()XYZXYZ++=++(),⎪XX+=0,⎪⎪XX+−=()0,⎪⎬αβ()(),X=αβX⎪()αβ+=+XαXβX,⎪⎪α()XY+=+αXαY,⎪1.⋅=XX⎭⎪由此可得下面的结论．定理4.1.2H是复数域C（相应地，实数域R）上的线性空间．延伸阅读在H中引入二元运算：(,)(),XY=∀ˆE
28、XYXY,∈H,其中YY表示对取共轭（下同）．由Cauchy-Schwarz不等式知，这样的二元运算是有意义的．不仅如此，还容易验证它具有如下性质对任意αβ,,∈∈C任意XXXY,,,,H有12(,)(,),YX=XY(,αX+=+βXY)α(XY,)β(XY,),1212(,)0,XX≥=当且仅当X0(,)0.时，XX=满足上述条件的二元运算(·,·)称为H上的内积（innerproduct）．当一个线性空间可以引入内积时，称其为内积空间．若X,Y∈H满足(X,Y)=0，则称X与Y正交（orthogonal）．上面引进的内积与正交概念实际上是对具体问
29、题所涉及的类似概念的抽象．例如，在n维欧氏空间上就有向量内积与正交概念；在讨论周期函数的Fourier级数展开时，也遇到过在[-π,π]上的三角函数系{1,cos,sin,xx??,cosnxn,sinx,}的内积与正交概念，等等．如果X,Y∈H，且EX=0=EY，那么X与Y正交蕴含X与Y不相关，反之亦然．对X,Y∈H，令2dXY(,)=−ˆEXY
30、
31、.(4.1.2)可以验证这里引入的d(·,·)满足以下条件，dXY(,)(,),,=∈dYXXYH,dXZdXYdYZ(,)(,)(,),,,≤+XYZ∈H,dXY(,)0,≥==当且仅当XY时,dXY(
32、,)0.称d(·,·)为H上的距离（distance）或度量（metric）．当一个抽象集合可以引入距离时，称其为距离空间（度量空间）．在H上引进上述距离d(·,·)使其成为距离空间，就为我们在H上讨论所谓的均方微积分奠定了基础．4.1.2均方微积分同普通微积分一样，我们先来介绍均方极限概念，并将此概念贯串于均方连续、均方导数以及均方积分等概念中．1.均方极限定义4.1.3设XX,(∈≥Hn1)，若n2limEXX
33、−
34、=0,(4.1.3)nn→∞则称{Xnn,1≥}均方收敛于X，亦称X是Xn当n→∞时的均方极限，记作(..)limmsXn=X，n→∞
35、这里m.s.是meansquare的缩写．注(1)均方收敛就是第1章介绍的2阶平均收敛．(2)由(4.1.2)式可知，(4.1.3)式表示dXX(,)0(→→n∞)，故均方收敛就是H中按距n离d(·,·)收敛．下面讨论均方极限的一些性质．定理4.1.4（Cauchy准则）设，XnX∈H(1≥≥)则{,1n}均方收敛的充要条件是nn2limEX
36、−X
37、=0.(4.1.4)mnnm→∞,→∞证必要性：设{Xn,1≥∈}均方收敛于XH,因n2222
38、
39、XXXXXX−=−+−≤
40、
41、2⎡
42、
43、XXXX−+−
44、
45、⎤,mnmn⎣mn⎦故2220
46、≤−≤EXX
47、2
48、⎡⎤
49、EX−+−→→X
50、
51、EXX
52、0(mn,)∞.mn⎣⎦mn即(4.1.4)式成立．充分性：设(4
