随机过程 第2章

《随机过程 第2章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第2章Poisson过程及其推广2.1Poisson过程2.1.1Poisson过程的定义Poisson过程是一种累计随机事件发生次数的独立增量过程．如果说Poisson分布适合描述稀有事件发生的统计规律的话，那么Poisson过程就适合刻画“稀有事件流”的概率特性．例如，它可作为“车流”，“顾客流”，“信号流”，“粒子流”等问题的随机模型．定义2.1.1给定概率空间(Ω，F，P)，若对任意t≥0，N(t)为取非负整数值的随机变量，且当0≤s

2、,t]内某随机事件A的发生次数，那么{N(t),t≥0}就是一个计数过程．定义2.1.2设{N(t),t≥0}为计数过程，若它满足条件(1)N(0)=0；(2)具有平稳独立增量；(3)对任意的t≥0，Δt>0，PNt{(+−==+ΔtNt)()1}λΔtot(Δ)，(2.1.1)PNt{(+−≥=ΔtNt)()2(}otΔ)，(2.1.2)其中λ>0为常数，则称{N(t),t≥0}是强度为λ的齐次Poisson过程(homogeneousPoissonprocess)．齐次Poisson过程简称为Poisson过程．定义中的条件(1)、(2)表明过程具有零初值且增量具有

3、平稳性和独立性．条件(3)的(2.1.1)式说明事件发生的稀有性，而(2.1.2)式刻画事件是相继发生的，意即在任一瞬间出现多个事件的概率极小．定理2.1.3若{N(t),t≥0}是强度为λ的Poisson过程，则对任意的s≥0，t>0，有n()λt−λtPNtsNsn{}()(+−)==e(0n=,1,2,)".(2.1.3)n!证对t>0，记ptPNtsNsnn()=+ˆ{()−=()}=−=PNtN{}()(0)n==PNtn{}()（由平稳增量及零初值）.首先，对n=0，考察p0(t)．当Δt＞0时，因为pttPNtt0(+Δ)(=+{Δ)0=}==+PNt{(

4、)0,Nt(ΔtNt)(−)0=}=+ptPNttNt0(){(Δ)(−)0=}(由独立增量)=−pt()1[]λΔtot+(Δ)((由2.1.1),(2.1.2)式),0所以p(ttpt+−Δ)()ot(Δ)00=−λpt()+.0ΔΔtt在上式两端令Δt→0，得pt′()=−λp().t00由初始条件：p0(0)=1，可解得−λtp()te=.(2.1.4)0其次，考察pn(t)(n≥1)．当Δt>0时，因为pn(ttP+Δ)(=+{NttnΔ)=}=+PNtNt{()(+ΔtNtn)(−)=}n==∑PNtnkNt{}()−,(+ΔtNtk)(−)=k=0n=+∑

5、ptnk−()PNttNtk{}(Δ)(−)=（由独立增量）k=0=−ptnn()1[]λΔtotpt++(Δ)(−1)[λΔtotot++(Δ)(]Δ)=−pt()(1λΔtpt)(+)λΔtot+(Δ),nn−1所以p(ttpt+−Δ)()ot(Δ)nn=−λpt()+λpt()+.nn−1ΔΔtt在上式的两端，令Δt→0，得微分方程pt′()=−+λpt()λp().tnnn−1方程的初始条件为：pn(0)=0(n≥1)．现在，需求解常微分方程初值问题：pt′()=−λpt()+λp()t⎫nnn−1⎬(2.1.5)pn(0)==0(1,2,)"⎭n+∞记.Ps

6、()==ˆˆptet()d−stL[()]pt由Laplace变换，得nn∫n0nPs()==λλPs()"=⎛⎞⎜⎟Ps(),nn−10s++λ⎝⎠sλ其中+∞(2.1.4)+∞1Ps()===ptet()d−−steetλts−td,00∫∫00s+λ故pt()==LL−−11⎡⎤Ps()λn⎡⎤1nn⎣⎦⎢⎥n+1⎣⎦()s+λ(2.1.6)nnn−−λt()λtλt=+λteΓ(1ne)==(1n,2,)".n!综合(2.1.4)及(2.1.6)式，可知(2.1.3)式成立．□注在上面定理的证明过程中，求解常微分方程初值问题(2.1.5)采用的是Lap

7、lace变换方法．实际上也可用其他方法（比如，矩母函数的方法）来求解．记∞∞uNt()ukukψ(,)ut==ˆEe()∑∑ePNt{()=k}=eptk()kk==00为N(t)的矩母函数．取ψ对t的偏导数并由(2.1.5)式，得∞∂ψ(,)utuk=∑eptk′()∂tk=0∞∞ukuk=−λ∑∑eptkk()+λept−1()kk==01u=−λψ(,)ut+λeψ(,)utu=−λψ(,)(ute1).再由∂ln(,)ψutu⎫=−λ(1e)⎪∂t⎬ψ(,0)up==0(0)1⎭⎪λte(1u−)解得ψ(,)ut=e．因矩母函数与