概率统计第二讲2011

《概率统计第二讲2011》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、暨南大学数学系张传林2010-2011-2数学与应用数学、信息与计算科学专业《概率统计》课程讲议版权申明：仅供作者本人和学生学习阅读使用，请勿做他用第二讲随机变量与概率分布一、随机变量及分布的概念上一讲，我们研究了随机事件及其概率，在某些例子中，随机事件和实数之间存在着某种客观的联系。比如，在一个盒子中有4件产品，其中3件正品，1件次品，从中任取2件，观察取出的产品中含正品的件数。如果令ξ=取出的2件产品中含正品的件数则ξ取值为1，2，具体取哪个取决于试验结果，也就是与样本点ω有关,而ω又随试验次数而变化，因而叫随机变量。“取出的2件产品全是正品”这一事件就可以简单

2、地用（ξ=2）表示。有些情况随机量虽然与实数之间没有上述那种“自然”的联系，但总可以人为地建立起一个对应关系。例如抛一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，现在约定若试验结果出现正面，令η=1，若试验结果出现反面，令η=0，这样，事件“试验结果出现正面”可用（η=1）表示；事件“试验结果出现反面”可用（η=0）表示。对于变量ξ和η，它们取什么值，在每次试验之前是不能确定的，因为它们的取值依赖于试验的结果，也就是说它们的取值是随机的。因此称这种变量为随机变量。一方面，试验的每一个结果都对应随机变量的一个确定的值，于是随机变量可看作样本空间上的一个“函数”，故可记为ξ=

3、ξ(ω),ω∈Ω，对每种可能的实验结果即样本点ω都对应着一个实数ξ(ω)，而ξ(ω)又是随1暨南大学数学系张传林2010-2011-2数学与应用数学、信息与计算科学专业《概率统计》课程讲议版权申明：仅供作者本人和学生学习阅读使用，请勿做他用试验结果不同而变化的一个变量；另一方面，对于任意的实数x<∞,{ω∈Ω:ξ≤x}表示事件，如ξ≤1,ξ≤2.5分别表示“取出的2件产品中至多有一件正品”和“取出的2件产品中至多有两件正品”这两个事件。下面给出随机变量的定义。随机变量的直观描述：一个取值依赖于一定条件实现下的结果的数量X，而且对任何给定实数c事件“X取值不超过c”是

4、有概率的，则称X为随机变量。定义设Ω是样本空间，即一定条件实现下所有可能结果的集合，ξ=ξ(ω)是定义在Ω上的实值函数，如果对任意实数x,{ω∈Ω

5、ξ(ω)≤x}是事件，即该事件有概率，则称ξ=ξ(ω)为随机变量。教材69—71，例1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7例观察电话交换台在单位时间内收到的呼叫次数。该试验的样本空间为：Ω={0,1,2,3,}其中k=“在单位时间内收到k次呼叫”，k=0,1,2,3,,定义Ω上的一个函数ξ(k)=k,k∈Ω。由试验的实际意义可知，对任意的实数x,{ξ≤x}显然是一事件，因而ξ是随机变量。例1试验：从装

6、有三个白球（记为1，2，3号）与两个黑球（记为4，5号）的袋中任取两个球，则样本空间可以表示为：Ω={{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}}（注：{（白，白），（白，黑），（黑，黑）}或{ω,ω,ω}严格讲0001112暨南大学数学系张传林2010-2011-2数学与应用数学、信息与计算科学专业《概率统计》课程讲议版权申明：仅供作者本人和学生学习阅读使用，请勿做他用不是样本空间。）用ξ表示取出的两个球中白球的个数，即ξ({1,2})=2,ξ({1,3})=2,ξ({1,4})=1,ξ(

7、{1,5})=1,ξ({2,3})=2,ξ({2,4})=1,ξ({2,5})=1,ξ({3,4})=1,ξ({3,5})=1,ξ({4,5})=0}则ξ是随机变量。随机变量是我们今后研究的主要对象。有了随机变量，对事件的研究变成对随机变量的研究。今后，我们主要研究离散型随机变量和连续性随机变量。离散型随机变量：一种试验结果ξ所可能取的值为有限个或至多可列个，我们能把其可能结果一一列举出来，这种类型的随机变量称为离散型随机变量。非离散型随机变量：不是离散型随机变量的随机变量。常遇到的非离散型随机变量是连续性随机变量：可取某个区间内的任何值的随机变量。要研究随机变量，

8、首先要掌握其在各个范围的概率。为此，下面给出分布函数的概念。定义设ξ是一个随机变量，称函数F(x)=P{ξ≤x},x∈(−∞,+∞)为随机变量ξ的分布函数，或ξ的分布。随机变量的分布函数F(x)具有如下性质：〈1〉F(x)是x的不减函数：若x