2011年考研数学《概率统计》讲义第五讲

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1、随机事件与概率一、随机试验与随机事件1、随机试验―2、样本空间―随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。3、随即事件―样本空间的子集称为随机事件。二、事件之间的关系与事件的运算（一）事件的运算与关系1、事件的积―事件A和事件B都发生，称为事件A和事件B的积，记AB；2、事件的和―事件A或者事件B发生,称为事件A和事件B的和,记A+B；3、事件的差―事件A发生而事件B不发生,称事件A与事件B的差,记A-B；4、包含―若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记AB。若AB且BA，则称两事件相等，记A=B；5、互斥（不相容）事件―若事件A和

2、事件B不能同时发生，即AB=，称事件A和事件B不相容；6、对立事件―若AB=,A+B=,称事件A和事件B为对立事件。（二）事件运算的性质：1、（1）；（2）；2、（1）；（2）；3、（1）；（2）；（3）。4、（1）；（2）。三、概率的定义与性质（一）概率的定义―设随机试验的样本空间为，满足如下条件的随机事件的函数称为所对应事件的概率：（1）对事件，有（非负性）；（2）（归一性）；（3）设为一列互不相容的随机事件，则有（可列可加性）。（二）性质1、；2、设为互不相容的有限个随机事件列，则；3、。四、概率公式1、加法公式：，特别地，若，则；2、减法公式：，特别地，若

3、，则；3、条件概率公式：设是两个事件，且，则；4、乘法公式：设，则，更一般地，。五、事件的独立性1、两个事件的独立―设是两个事件，若，称事件相互独立。2、三个事件的独立―设是三个事件，若，称事件相互独立。注解：相互独立的充分必要条件是任何一对相互独立。六、全概率公式与Bayes公式1、完备事件组―设事件组满足：（1）；（2），则称事件组为一个完备事件组。2、全概率公式：设是一个完备事件组，且，为事件，则。3、贝叶斯公式：设为一个完备事件组，且，为任一随机事件，，则。七、三种重要的概率类型1、古典概型―若随机试验满足如下两个条件：（1）样本空间中只有有限个样本点；（

4、2）样本空间中每个样本点发生是等可能的，这样的随机试验称为古典概型。设为任一随机事件，则。2、几何概型―若样本空间为欧氏空间，且所有样本点等可能出现，该随机试验称为几何概型，设为随机事件，则。3、贝努利概型―若随机试验只有两个可能的结果，且每次试验的可能结果与可能结果的概率保持不变，这样的试验称为贝努利试验。设，则次试验中事件发生次的概率为。例题选讲一、填空题：1、设，（1）若不相容，则；（2）若相互独立，则。2、设，则事件全不发生的概率为。3、设两两相互独立的事件满足：，且有，则。4、设事件满足，且，则。5、设为两个相互独立的随机事件，且都不发生的概率为，发生不

5、发生的概率与不发生发生的概率相等，则。二、选择题：1、设是两个随机事件，且，则[]；；；。2、设事件满足，且，则[]事件对立；事件相互独立；事件不相互独立；事件不相容。三、解答题1、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是次品的的概率。2、设工厂与工厂的次品率分别为1%和2%，现从由和生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是生产的概率。3、设事件在每次试验中的概率为，三次独立重复试验中事件至少出现一次的概率为，求事件发生的概率。4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为

6、50%和60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。第二讲一维随机变量及其分布一、基本概念1、随机变量―设，，对任意的，总存在唯一确定的与之对应，称为随机变量，若的可能取值为有限个或可列个，称为离散型随机变量，若在某可区间上连续取值，称为连续型随机变量。2、分布函数―设为一个随机变量，称函数为随机变量的分布函数。注解：分布函数的性质有（1）；（2）；（3）；（4）。3、离散型随机变量的分布律―4、连续型随机变量的密度函数―二、常见离散型随机变量及其分布律1、（0―1）分布―2、二项分布―3、Poisson分布―4、几何分布三、常见的连续型随机变量及其分布密度1、均匀

7、分布―若随机变量的密度函数为，称随机变量服从均匀分布，记为，其分布函数为。2、正态分布―若随机变量的密度函数为，称随机变量服从正态分布，记为，特别地，若，称随机变量服从标准正态分布，记为，其密度为，其分布函数为。3、指数分布―若随机变量的密度为，称随机变量服从指数分布，记为，其分布函数为。四、随机变量函数的分布例题选讲一、选择题1、设的密度为，分布函数为，下列结论正确的是[]为某随机变量的分布函数；为某随机变量的密度函数；为某随机变量的分布函数；为某随机变量的密度函数。2、设随机变量的密度函数为偶函数，其分布函数为，则[]为偶函数；；；。3、设，令，则[]对任意实

8、数都有；对