仿kronecker符号及其应用

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1、万方数据万方数据162数学的实践与认识37卷口t(愚≠4)在新序列中的序号为，f忌，当五<4；七一^^一I五一1，当五>4．．②去掉口。，口，，得子序列口l，n2'口3’口5'口6’口8'口9·口t(点≠4，7)在新序列中的序号为f点，当志<4；是一阻一JD7^=_{七一1，当4<忌<7；【正一2，当志>7．2)给定矩阵A一[日i』]，×。，考虑其5×6子矩阵／】2457＼B=AII，＼134679／即在A中划去第3，6两行，第2，5，8三列．元素口玎(i≠3，6；歹≠2，5，8)在B中的行序号、列序号分别为fi，当i<3；i—lD3f—lD6l=．《i一1，当3

2、当i>6，’一p∞一psI，当歹<2；一1，当2<歹<5；一2，当5<_f<8；一3，当_『>8．1．3描述逆序在，z阶排列歹，歹：⋯五中，数对五，五(s<￡)构成逆序，即jI>jt《穹Pj

3、j!一O{与pj。i。21·而-『。歹。⋯五的逆序数可以表为H一1”f(歹。加·_f。)=∑^矗=∑∑％．2行列式的展开在行列式理论中，行列式的公理化定义、全排列定义、降阶法定义相互等价，各有侧重．在线性代数教学中，用降阶法定义行列式，有着重点突出、节省学时、容易掌握等优点．下文基于降阶法定义，应用仿Kronecker符号，研究行列式的按任意一行展开、按任意多行展开以及完全展开．2．1按一行展开

4、公式定义21阶方阵A=■，。]的行列式为detA=det[d11]=口11．当咒≥2时，如果以一1阶方阵的行列式已经定义，则行阶方阵A=[以，，]的行列式定义为detA=口1lMl—n12M2+⋯+(一1)1+“n1。M。一∑(一1)1+么l』M∽，●●●●●J‘●●●，【万方数据万方数据万方数据万方数据166数学的实践与认识37卷detA一∑(一1)州+。s置一。铲，‘怎一。％口Ⅵ口。∥口嘛．』I』2⋯厶为n阶排列易知jn—Pjlj。一pj0。一⋯一pj．1j．21，从而乘积口t』。口z如⋯口峨所带符号为sgn(J，歹。⋯五)一(一1)一一H。墨●一。§乏s。％～：(一1)计坐笋一

5、。≤互s～：(一1)翻+掣一。s暑白_^：(一1)，s罨三。‘l一_‘’：(一1)。≤逸。么‘一(一1)暑，善。％．注lsgn(歹-歹z⋯歹。)=det[勺。，￡』。，⋯，‰]T，即为对应的川喻排列矩阵(口，J。=口。厶=1，其他元素全为o)的行列式，其中勺为第．f个咒维基本列向量．注2detA的完全展开式亦可表为2n2j2detA=∑sgn(ili2．．·以)口小口够⋯口护‘1‘2⋯‘为"阶捧列例如，在5阶方阵A=■玎]的行列式detA的完全展开式中，取自不同行不同列的5个元素的乘积口。。锄口35口41口52所带符号为sgn(43512)=(一1)‘尸34+，54+尸14+如·’+

6、‘如3+P13+如3’+‘P15+尸25’+如1=(一1)3+2+2+o==一1．也可以计算对应的5阶排列矩阵的行列式来确定所带符号．’命题设A=[口“]为以阶方阵，则在detA的完全展开式中，取自不同行不同列的以个元素的乘积口i。』。以i：，：⋯口‘厶(i-iz⋯i。，歹-五⋯歹。均为咒阶排列)所带符号为sgn(ili2⋯i。)·sgn(歹1歹2⋯．『。)．证明当行=1时，命题显然成立．当咒≥2时，使用I。aplace按一行展开公式，依次将detA，坛l』I，M1．f∥。．』2，⋯，Ml啊、‘一2，』l咿．．，厶一2分别按元素日，。』，，以i：如，口，。如，⋯，口‘一。厶一。所在的

7、行展开，可知乘积nt。』。口，：如⋯m。厶所带符号为(——1)‘I+』l(——1)‘。2一^lj2’+‘J2—01如’⋯(——1)‘‘一l一一l‘l一1一⋯一■一2‘一l’+‘厶一l一01如一l一⋯一■一2厶一I’，且有zn—Blf。一⋯一以一l‘一厶一BI厶一⋯一^一l厶4l·从而所带符号为(一1)。墨。‘‘+矗卜，s乏s。‘_‘+_^卜2：(一1)m+1卜。≤乏≤。‘％+_‘’：(一1)抽(一1)。≤量≤。‘1一气‘’(一1)。s善血‘1一_‘’一(一1)。s曼s●‘(一1)。‘兰s^矗一sgn(ili2⋯i。)·sgn(歹1五⋯五)．实际上，更常用的做法是先调换因子次序，口fl

8、』l“f2屯⋯口f。厶=口1J：口2，：⋯口一五=口i：1以i：2⋯口i：H’则所带符号亦可表为sgn(J：J：⋯歹：)或sgn(iji：⋯i：)．万方数据19期田代军，等：仿Kronecker符号及其应用167至此，行列式的降阶法定义在行列式理论中获得完全成功．本文中各重要结论联系如下：圈≥圈≥回U心回圈巨至巫亟圃其间，仿Kronecker符号起着关键作用．仿Kronecker符号还有许多其他应用，限于篇幅这里不再赘述．参考文献：[1]盂道骥．高等代数与