关于多元非线性方程的broyden方法

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1、万方数据2004年11月Nov．、2004计算数学MATHEMATICANUMERICASINICA第26卷第4期Vbl．26，No．4关于多元非线性方程的Broyden方法粗’安恒斌白中治(中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所科学与工程计算国家重点实验室，北京，100080)摘要本文提出了求解多元非线性方程的Broyden方法，讨论了该方法的局部与半局部收敛性，并估计了其超线性收敛速度．数值实验表明，新方法是可行有效的，并且其计算效率高于方向Newton法和方向割线法．关键词：Newton法，Broyden方法，非线性方程，局部与半局部收

2、敛性，超线性收敛性MR(2000)主题分类：65H10，65Y05，76D05BROYDENMETHoDFoRNoNLINEAREQUATIoNINSEVERALVARIABLESAnHengbinBaiZhongzhi(＆ote‰sf眈6Dm￡D硝D，&ienz沉c肛坳inee喇珊∞嘲，u挽删加挽tuteo，《：’07r巾毗a托。礼oj』Ma￡九e竹l口t《csa礼dscie礼t访c／Eng打zee州礼9(1D7r印“坑礼9Acodem可o，』‰亡^e"己n亡icsnndSys亡e仃l&沈ncesC仇伽eseA∞dem∥盯sc钯佗ces，Be扔哪100080，

3、P．兄．G协佗o)AbstractBroydenmethodfornonlinearequationinseveralv甜iablesispre8ented，itslocalandsemiloc址coIlvergenceproperties盯ediscussed，anditssuperlinearcollvergencera乞eisestimated．NumericalexperimentsshowthatthenewmethodisfeaSibleandeffective，anditscomputationalemciencyis瑚【uchhi曲erthanb

4、othdirectionalNewtonmethodanddirectionalsecaHtmethod．K哪‘words：Newtonmethod，Broydenmethod，nonline盯equation，loc出andsemilocalconvergence，superlinearcoIⅣergence2D口O讹t忍emo抚cs．5‰6，ecta8s3i厅cn抚。能65H10，65Y05，76D05木2003年8月29B收到．1)国家重点基础研究项目“大规模科学计算研究(G1999032803)”专项经费资助课题．万方数据计算数学2004年考虑佗元非线性

5、方程1．引言，(z)=0，其中．厂：碾”_R1连续可微．非线性方程(1)广泛地产生于计算机图形学，非线性方程组的数值求解以及非解析复函数复根的计算等领域．见[1，8

6、-文[8]提出了求解(1)的方向Newton法，在该方法中，每次迭代均从当前迭代点z甩出发，去确定一个适当的方向扩，然后在扩上运用一维Newton法得到下一迭代点z蚪1．如果在方向扩上运用一维割线法来得到下一迭代点，则所得到的方法便是文(1]中研究的方向割线法．在一定的条件下，方向Newton法与方向割线法都是二阶收敛的．但对于这两种方法来说，每次迭代都要计算函数，在当前迭代点的导数或其差商近似，以

7、确定方向驴，这在实际计算中是费时且很不方便的．本文提出了一类求解非线性方程(1)的Broyden方法．这一新方法避免了方向Newton法与方向割线法中每次迭代都要计算函数，在当前迭代点的导数或其差商近似，以确定一个新方向的缺点，并在实际计算中省时且易于实现．我们证明了该方法的局部收敛性质，半局部收敛性质，以及超线性收敛性质．数值实验表明，这类Broyden方法的计算效率要高于方向Newton法和方向割线法．2．Broyden方法的建立Broyden方法是求解非线性方程组的有效方法之一(见[9，7，6】)．设F：Rn—Rn为非线性映射，则求解非线性方程组F@)=0

8、的Broyden算法可描述如下：算法2．11．给定初值zu∈R％，初始矩阵40∈R锨佗及精度E，令尼：=0．2．如果

9、

10、F(扩)lI>E2．1．≯=一AilF(扩)，2．2．z南+1=z南+8％。2．3．可七=F(z缸十1)一F(z七)，2．4．AⅢ=如+止铲，2．5．后：=忌+1．在算法2．1中，矩阵A七可视为F在。血处的Jacobi矩阵F’(z南)的近似．在一定条件下，上述Broyden算法具有超线性收敛性质．详见【9，7，5]．若将算法2．1直接应用到非线性方程(1)，则我们可得求解这类非线性方程的Broyden算法．万方数据4期安恒斌等：关于多元非线性方

11、程的Broyden方法3