常微分方程的起源与发展

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1、第6#卷第"期高等函授学报!自然科学版#F/:56#B/5"6##G年G月"""H/C)0A:/E7(9,8)I/))8*J/0=80+8K=C+A;(/0!BA;C)A:L+(80+8*#"""HC086##G文章编号!!""#!$%&%"’""##"%!""%("!’#!"%常微分方程的起源与发展!张良勇!董晓芳!燕山大学理学院"河北秦皇岛"#GG##!#""摘要!常微分方程是3$世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一!本文从常微分方程的起源谈起"分四个时期介绍其发展过程!关键词!常微分方程#起源#发展中图分类号!B#%"""""""文献标识码!

2、&""许多有关微分方程的教材都会提到发现海著作一样"常微分方程最早的著作出现在数学家王星的故事$海王星的发现是人类智慧的结晶"也们彼此的通信中"而且通信中所提到的解法可能是微分方程巨大作用的体现"体现了数学演绎法仅仅是对某个特例的说明$所以现在很难确切地的强大威力$3$?3年发现天王星后"人们注意到说是谁首先得到某些概念或结论的$3G$G年"莱它所在的位置总是和万有引力定律计算出来的结布尼茨在给牛顿的信中第一次提出&微分方程’果不符$于是有人怀疑万有引力定律的正确性%但这个数学名词$也有人认为"这可能是受另外一颗尚未发现的行常微分方程是由人类生产实践的需要而产生星吸引所致

3、$当时虽有不少人相信后一种假设"但的$其雏形的出现甚至比微积分的发明还早$纳皮缺乏去寻找这颗未知行星的办法和勇气$6"岁的尔发明对数)伽利略研究自由落体运动)笛卡儿在英国剑桥大学的学生亚当斯承担了这项任务$他光学问题中由切线性质定出镜面的形状等等"实利用引力定律和对天王星的观测资料建立起微分际上都需要建立和求解微分方程$牛顿和莱布尼方程"来求解和推算这颗未知行星的轨道$3?!"茨在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的年3#月63日他把计算结果寄给格林威治天文台互逆性"实际上是解决了最简单的微分方程@#台长艾利"但艾利不相信&小人物’的成果"置之HE!*#的求解问题$此外

4、"牛顿)莱布尼茨也都用不理$两年后"法国青年勒威耶也开始从事这项研无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分究$3?!G年%月3?日"他把计算结果告诉了柏林方程$天文台助理员卡勒"6"日晚"卡勒果然在勒威耶最早用分离变量法求解微分方程的是莱布尼预言的位置上发现了海王星$茨$他用这种方法解决了形如@=**=@#对于数学"特别是数学的应用"微分方程所具有的重大意义主要在于(很多物理与技术问题可H!*#2!@#的方程"因为只要把它写成=**H!*#以化归为微分方程的求解问题$本文以此为契机"#2!*#=@*@"就能在两边进行积分$但莱布尼茨阐述常微分方程发展过程中所经历的四个重要时

5、并没有建立一般的方法$3G%3年他把自己在这方期及微分方程的应用意义$面的工作写信告诉了荷兰科学家惠更斯$同年他!常微分方程的经典阶段又解出了一阶齐次方程@E#H!@**#(他令@#$$$以通解为主要研究内容S*"代入方程就可以使变量分离$3G%"年"惠更斯就像微积分在3$世纪后期与3?世纪前期的在+教师学报,中明确提到了微分方程"而莱布尼!收稿日期(6##GM#!M6G""作者简介(张良勇!3%?#M#"男"河北沧州人"燕山大学理学院硕士研究生"主要从事常微分方程方面的研究工作$万方数据"!第6#卷第"期高等函授学报#自然科学版$F/:56#B/5"6##G年G月"""

6、H/C)0A:/E7(9,8)I/))8*J/0=80+8K=C+A;(/0#BA;C)A:L+(80+8*$"""HC086##G茨同年则在同一家杂志的另一篇文章中!称微分全力冲击仍不得其解&3?!3年法国数学家刘维尔方程为特征三角形的边的函数!并给出了线性方证明意大利数学家黎卡提3$6!年提出的黎卡提程=@"=*#I#*$@:O#*$的通解表达式%方程=@"=*#I#*$@6:O#*$@:<#*$的解一般不能通过初等函数的积分来表达!从而让大家明I#*$=*#!$I#*$=*@#*$#($$O#*$(=*:D$!白了不是什么方程的通解都可以用积分手段求其中D是任意常数

7、&出的&L把欧拉方3$!#年!欧拉用自变量代换*#(由于碰了黎卡提方程的钉子!从3?世纪下半程线性化而求得叶到3%世纪!人们从求通解的热潮转向研究常微;;!3G;=@;!3=@分方程定解问题的适定性理论!此阶段为常微分#*;:G3*:’:G;@##=*=*;!3方程发展的适定性理论阶段&的通解!其中G#’#3!6!’!;$是常数&’3%世纪6#年代!柯西建立了柯西问题通解与特解的概念是3$!"年欧拉定义的!同=@时欧拉还给出恰当方程的解法和常系数线性齐次=#H#*!@$=*<方程的特征根解法&>@#*#$#@#微分方程的解有时