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1、第三讲常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19世纪19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段.作为微分方程向复数域的推广,微分方程解析理论是由Cauchy开创的.在Cauchy之后,重点转向大范围的研究。n级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的.在着手处理更为复杂的物理现象,特别是在弦振动的研究中,数学家们得到了偏微分方程.用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题.此外,因
2、为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的,所以得到的常微分方程是陌生的,并且不能用封闭形式解出.为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程,数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式,而转向无穷级数的方法.应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel方程.其中参数和都可以是复的.对Bessel来说,和都是实的.此方程的特殊情形早在1703年BernoulliJacobi给Leibnitz的信中就已提到,后来BernoulliDaniel、Euler、Fourier、Poisson等都讨论过此问题.对此方程的解的最早的系统研究是
3、由Bessel在研究行星运动时作出的.对每个,此方程存在两个独立的基本解,记作和,分别称为第一类Bessel函数和第二类Bessel函数,它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）.Bessel自1816年开始研究此方程,首先给出了积分关系式1818年Bessel证明了有无穷多个零点.1824年,Bessel对整数给出了递推关系式和其他的关于第一类Bessel函数的关系式.后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel函数及其表达式和关系式.Bessel为微分方程解析理论作出了巨大贡献。解析理论中另一重要内容是Legendre方程的级数
4、解和Legendre多项式方面的结果.1784年,Legendre研究了Legendre方程,给出了幂级数形式的解,得到了Legendre多项式.与此同时,HermiteC研究了方程,得到了其幂级数解,当为非负偶数时即为著名的Hermite多项式.Tchebyshevy在研究方程的解时,得到了Tchebyshevy多项式.1821年,Gauss研究了Gauss几何方程.这个方程及其级数解早已为人们所熟知了，因为它已由Euler研究过.此级数称为超几何级数,包含了几乎所有的当时已知的初等函数和许多像Bessel函数、球函数那样的超越函数.除了证明此级数的一些性质外，
5、Gauss还建立了著名的关系式.Gauss还建立了此级数的收敛性。记号应归源于Gauss.这一时期关于常微分方程级数解和特殊函数方面的工作还有很多,这里不一一介绍.n奇点理论、自守函数19世纪中期，常微分方程的研究走上了一个新的历程。存在性定理和Sturm-Liouville理论都预先假设在考虑解的区域内，微分方程包含解析函数或至少包含连续函数。另一方面，某些已经考虑过的微分方程，如Bessel方程、Legendre方程、Gauss超几何方程，如果表示成具有变系数的线性齐次$n$解常微分方程且最高阶导数项系数为1时，它们的系数具有奇异性，在奇异点的邻域内级数解的形
6、式是特别的，所以数学家们便转而研究奇点邻域内的解，也就是一个或多个系数在其上奇异的那种点的邻域内的解。对于这个问题，Gauss关于超几何级数的工作指明了道路。先导者是Riemann和Fuchs（Weierstrass的学生和他在柏林的继承者）。此理论被称为线性常微分方程的Riemann-FuchsL奇点理论，这是19世纪常微分方程解析理论中一个非常重要的成果。奇点邻域内的解的研究是由Briot(1866年)和Bounque(1856年)起始的，他们的关于一阶线性方程的结果很快就得到了推广，在这个新领域中，人们的注意力集中于形为的线性常微分方程，其中除在孤立奇点外是
7、复变数$z$的单值解析函数。此方程之所以受到重视，是因为它的解包括所有初等函数甚至某些高等函数。这方面的重要工作还有BriotAA和BouquetJ的由常微分方程出发建立的椭圆函数（特殊的自守函数）的一般理论、Fuchs和Poincare的关于一阶非线性微分方程的理论,最后是1882年至1884年PoincareJ的工作和KleinF在1884年的工作由于自守函数理论而使微分方程解析理论臻于顶峰.这样,微分方程和自守函数建立了密切的联系.当自守函数理论还正处在创立的阶段时，天文学方面的工作激起了对一个二阶常微分方程的兴趣。此方程源于著名的体问题。体问题可以用一句话
8、写出来：在
